Ligningsløser
Skriv koefficienterne, så løses ligningen, med diskriminant og toppunkt oven i købet.
ax² + bx + c = 0
Løsninger
x1 = 1 x2 = 2
Faktoriseret: (x − 1)(x − 2)
- Diskriminantb² − 4ac afgør antallet af reelle rødder.1
- ToppunktParablens laveste eller højeste punkt.(1,5, -0,25)
- Symmetrilinjex = 1,5
Udregningen
x = (−(-3) ± √1) / (2 · 1)
Sådan virker det
En førstegradsligning har altid præcis én løsning, så længe koefficienten foran x ikke er nul. Er den nul, findes der enten ingen løsning overhovedet eller uendelig mange.
Andengradsligningen løses med løsningsformlen i den numerisk stabile form, der er beskrevet nedenfor. Matematisk giver den de samme rødder som formlen fra skolen. Diskriminanten b² − 4ac afgør, hvor mange reelle rødder der findes.
Er diskriminanten positiv, findes der to rødder, er den nul, findes der en dobbeltrod, og er den negativ, findes der ingen reelle rødder, men to komplekse, der er hinandens spejlbilleder.
Toppunktet er parablens laveste eller højeste punkt. Det ligger altid midt mellem rødderne, på x = −b / 2a, hvilket også er symmetrilinjen.
Værktøjet bruger en numerisk stabil form af løsningsformlen. Skoleformlen trækker to næsten lige store tal fra hinanden, når b² er meget større end 4ac, og mister da den mindste rod helt.
Sådan beregnes rødderne
Værktøjet beregner først q = −½(b + fortegnet for b · √D), hvor D = b² − 4ac. Den ene rod er q / a og den anden c / q. Når b er nul, regnes fortegnet som plus. Det svarer til David Goldbergs omskrivning af løsningsformlen: den rod, hvor formlen ville trække to næsten lige store tal fra hinanden, beregnes i stedet som c / q, fordi produktet af rødderne altid er c / a.
Rødderne vises i størrelsesorden med højst ti betydende cifre. Når diskriminanten er negativ, skrives svaret som −b / 2a ± √(−D) / |2a| gange i.
En diskriminant, der kun afviger fra nul på grund af afrundingsfejl, regnes som nul, fordi b² og 4ac afrundes hver for sig. Med a = 1, b = 0,2 og c = 0,01 bliver b² − 4ac som flydende kommatal 6,9 · 10⁻¹⁸, men værktøjet giver dobbeltroden −0,1, ikke to rødder tæt ved hinanden.
Eksempel: en meget lille rod
Tag x² + 100.000.000x + 1 = 0, altså a = 1, b = 100.000.000 og c = 1. Skoleformlen giver den lille rod som (−b + √D) / 2, og med computerens præcision bliver det cirka −0,00000000745. Det er forkert med omkring en fjerdedel, og med b = 1.000.000.000 giver skoleformlen endda 0.
Værktøjet får q = −100.000.000, og rødderne bliver q / a = −100.000.000 og c / q = −0,00000001, som vises med titalspotens som −1E-8.
Skriv ligningen på den rigtige form
Værktøjet løser kun ligninger, hvor den ene side er nul. Står der x² = 3x − 2, flytter du alt over på venstre side: x² − 3x + 2 = 0 giver a = 1, b = −3 og c = 2 og rødderne 1 og 2. Udregningen under svaret viser x = (−(−3) ± √1) / (2 · 1) og den faktoriserede form (x − 1)(x − 2). Et led, der mangler, har koefficienten nul, og et minustegn følger med ind i koefficienten.
Førstegradsligningen 2x + 3 = 7 bliver på samme måde 2x − 4 = 0, altså a = 2, b = −4 og x = 2. Vælger du andengrad med a = 0, beder værktøjet dig skifte til førstegrad i stedet for at dividere med nul.