Résoudre une équation
Saisissez les coefficients et l’équation est résolue, avec le discriminant et le sommet en prime.
ax² + bx + c = 0
Solutions
x1 = 1 x2 = 2
Factorisée : (x − 1)(x − 2)
- Discriminantb² − 4ac décide du nombre de racines réelles.1
- SommetLe point le plus bas ou le plus haut de la parabole.(1,5, -0,25)
- Axe de symétriex = 1,5
Le calcul
x = (−(-3) ± √1) / (2 · 1)
Comment ça marche
Une équation du premier degré a toujours exactement une solution, tant que le coefficient de x n’est pas nul. S’il est nul, il n’y a soit aucune solution, soit une infinité.
L’équation du second degré se résout avec la formule du discriminant, sous la forme numériquement stable décrite plus bas. Mathématiquement, elle donne les mêmes racines que la formule apprise à l’école. Le discriminant b² − 4ac décide du nombre de racines réelles.
Si le discriminant est positif, il y a deux racines ; s’il est nul, il y en a une double ; s’il est négatif, il n’y en a pas de réelles mais deux complexes, image l’une de l’autre.
Le sommet est le point le plus bas ou le plus haut de la parabole. Il se trouve toujours exactement entre les racines, en x = −b / 2a, qui est aussi l’axe de symétrie.
L’outil emploie une forme numériquement stable de la formule. La formule scolaire soustrait deux nombres presque égaux quand b² est bien plus grand que 4ac, et perd alors complètement la plus petite racine.
Comment les racines sont trouvées
L’outil calcule d’abord q = −½(b + signe de b × √Δ), où Δ = b² − 4ac. Une racine vaut q / a et l’autre c / q. Cela correspond à la réécriture de la formule par David Goldberg : la racine pour laquelle la formule soustrairait deux nombres presque égaux est calculée plutôt comme c / q, puisque le produit des racines vaut toujours c / a.
Les racines sont données par ordre croissant, avec dix chiffres significatifs au plus. Quand le discriminant est négatif, la réponse s’écrit −b / 2a ± √(−Δ) / |2a| fois i.
Un discriminant qui ne diffère de zéro que par une erreur d’arrondi compte comme nul, car b² et 4ac sont arrondis séparément. Avec a = 1, b = 0,2 et c = 0,01, b² − 4ac vaut 6,9 × 10⁻¹⁸ en virgule flottante, mais l’outil donne la racine double −0,1, et non deux racines très proches.
Exemple : une très petite racine
Prenez x² + 100 000 000x + 1 = 0, soit a = 1, b = 100 000 000 et c = 1. La formule du manuel donne la petite racine sous la forme (−b + √Δ) / 2, qui vaut, à la précision de l’ordinateur, environ −0,00000000745. C’est faux d’environ un quart, et avec b = 1 000 000 000, la formule du manuel donne même 0.
L’outil obtient q = −100 000 000, et les racines deviennent q / a = −100 000 000 et c / q = −0,00000001, affiché en puissance de dix.
Mettre l’équation sous la bonne forme
L’outil ne résout que les équations dont un membre vaut zéro. Si vous avez x² = 3x − 2, faites tout passer à gauche : x² − 3x + 2 = 0 donne a = 1, b = −3 et c = 2, et les racines 1 et 2. Le calcul sous la réponse montre x = (−(−3) ± √1) / (2 · 1) et la forme factorisée (x − 1)(x − 2). Un terme absent a le coefficient zéro, et un signe moins entre dans le coefficient.
L’équation du premier degré 2x + 3 = 7 devient de même 2x − 4 = 0, soit a = 2, b = −4 et x = 2. Si vous choisissez le second degré avec a = 0, l’outil vous propose de passer au premier degré plutôt que de diviser par zéro.