Ekvationslösare
Skriv in koefficienterna så löses ekvationen, med diskriminant och vertex på köpet.
ax² + bx + c = 0
Lösningar
x1 = 1 x2 = 2
Faktoriserat: (x − 1)(x − 2)
- Diskriminantb² − 4ac avgör antalet reella rötter.1
- VertexParabelns lägsta eller högsta punkt.(1,5, −0,25)
- Symmetrilinjex = 1,5
Uträkningen
x = (−(−3) ± √1) / (2 · 1)
Så fungerar det
En förstagradsekvation har alltid exakt en lösning, så länge koefficienten framför x inte är noll. Är den noll finns antingen ingen lösning alls eller oändligt många.
Andragradsekvationen löses med lösningsformeln i den numeriskt stabila form som beskrivs nedan. Matematiskt ger den samma rötter som pq-formeln från skolan. Diskriminanten b² − 4ac avgör hur många reella rötter som finns.
Är diskriminanten positiv finns två rötter, är den noll finns en dubbelrot, och är den negativ finns inga reella rötter utan två komplexa som är varandras spegelbilder.
Vertex är parabelns lägsta eller högsta punkt. Den ligger alltid mitt emellan rötterna, på x = −b / 2a, vilket också är symmetrilinjen.
Verktyget använder en numeriskt stabil form av lösningsformeln. Skolformeln subtraherar två nästan lika stora tal när b² är mycket större än 4ac, och tappar då den mindre roten helt.
Så räknas rötterna
Verktyget räknar först q = −½(b + tecknet för b · √D), där D = b² − 4ac. Den ena roten är q / a och den andra c / q. När b är noll räknas tecknet som plus. Det motsvarar David Goldbergs omskrivning av lösningsformeln: den rot där formeln skulle subtrahera två nästan lika tal räknas i stället som c / q, eftersom produkten av rötterna alltid är c / a.
Rötterna visas i storleksordning med högst tio värdesiffror. När diskriminanten är negativ skrivs svaret som −b / 2a ± √(−D) / |2a| gånger i.
En diskriminant som bara skiljer sig från noll genom avrundningsfel räknas som noll, eftersom b² och 4ac avrundas var för sig. Med a = 1, b = 0,2 och c = 0,01 blir b² − 4ac i flyttal 6,9 · 10⁻¹⁸, men verktyget ger dubbelroten −0,1, inte två rötter tätt intill varandra.
Exempel: en mycket liten rot
Ta x² + 100 000 000x + 1 = 0, alltså a = 1, b = 100 000 000 och c = 1. Skolformeln ger den lilla roten som (−b + √D) / 2, och med datorns precision blir det ungefär −0,00000000745. Det är fel med omkring en fjärdedel, och med b = 1 000 000 000 ger skolformeln till och med 0.
Verktyget får q = −100 000 000, och rötterna blir q / a = −100 000 000 och c / q = −0,00000001, som visas som tiopotens.
Skriv ekvationen på rätt form
Verktyget löser bara ekvationer där ena ledet är noll. Står det x² = 3x − 2 flyttar du över allt till vänster: x² − 3x + 2 = 0 ger a = 1, b = −3 och c = 2, och rötterna 1 och 2. Uträkningen under svaret visar x = (−(−3) ± √1) / (2 · 1) och faktorformen (x − 1)(x − 2). Ett led som saknas har koefficienten noll, och ett minustecken följer med in i koefficienten.
Förstagradsekvationen 2x + 3 = 7 blir på samma sätt 2x − 4 = 0, alltså a = 2, b = −4 och x = 2. Väljer du andragrad med a = 0 ber verktyget dig byta till förstagrad i stället för att dela med noll.