Likningsløser
Skriv inn koeffisientene, så løses likningen, med diskriminant og toppunkt på kjøpet.
ax² + bx + c = 0
Løsninger
x1 = 1 x2 = 2
Faktorisert: (x − 1)(x − 2)
- Diskriminantb² − 4ac avgjør antallet reelle røtter.1
- ToppunktParabelens laveste eller høyeste punkt.(1,5, −0,25)
- Symmetrilinjex = 1,5
Utregningen
x = (−(−3) ± √1) / (2 · 1)
Slik fungerer det
En førstegradslikning har alltid nøyaktig én løsning, så lenge koeffisienten foran x ikke er null. Er den null, finnes det enten ingen løsning i det hele tatt eller uendelig mange.
Andregradslikningen løses med løsningsformelen i den numerisk stabile formen som er beskrevet nedenfor. Matematisk gir den de samme røttene som abc-formelen fra skolen. Diskriminanten b² − 4ac avgjør hvor mange reelle røtter som finnes.
Er diskriminanten positiv, finnes det to røtter, er den null, finnes det en dobbeltrot, og er den negativ, finnes det ingen reelle røtter, men to komplekse som er hverandres speilbilder.
Toppunktet er parabelens laveste eller høyeste punkt. Det ligger alltid midt mellom røttene, på x = −b / 2a, som også er symmetrilinja.
Verktøyet bruker en numerisk stabil form av løsningsformelen. Skoleformelen trekker fra hverandre to nesten like store tall når b² er mye større enn 4ac, og mister da den minste roten helt.
Slik regnes røttene
Verktøyet regner først ut q = −½(b + fortegnet til b · √D), der D = b² − 4ac. Den ene roten er q / a og den andre c / q. Når b er null, regnes fortegnet som pluss. Det tilsvarer David Goldbergs omskriving av løsningsformelen: den roten der formelen ville trukket fra hverandre to nesten like store tall, regnes i stedet som c / q, fordi produktet av røttene alltid er c / a.
Røttene vises i stigende rekkefølge med høyst ti gjeldende sifre. Når diskriminanten er negativ, skrives svaret som −b / 2a ± √(−D) / |2a| ganger i.
En diskriminant som bare skiller seg fra null på grunn av avrundingsfeil, regnes som null, fordi b² og 4ac rundes av hver for seg. Med a = 1, b = 0,2 og c = 0,01 blir b² − 4ac i flyttall 6,9 · 10⁻¹⁸, men verktøyet gir dobbeltroten −0,1, ikke to røtter tett inntil hverandre.
Eksempel: en svært liten rot
Ta x² + 100 000 000x + 1 = 0, altså a = 1, b = 100 000 000 og c = 1. Skoleformelen gir den lille roten som (−b + √D) / 2, og med datamaskinens presisjon blir det omtrent −0,000 000 007 45. Det er feil med omkring en fjerdedel, og med b = 1 000 000 000 gir skoleformelen til og med 0.
Verktøyet får q = −100 000 000, og røttene blir q / a = −100 000 000 og c / q = −0,000 000 01, som vises som tierpotens.
Skriv likningen på riktig form
Verktøyet løser bare likninger der den ene siden er null. Står det x² = 3x − 2, flytter du alt over til venstre: x² − 3x + 2 = 0 gir a = 1, b = −3 og c = 2, og røttene 1 og 2. Utregningen under svaret viser x = (−(−3) ± √1) / (2 · 1) og den faktoriserte formen (x − 1)(x − 2). Et ledd som mangler, har koeffisienten null, og et minustegn følger med inn i koeffisienten.
Førstegradslikningen 2x + 3 = 7 blir på samme måte 2x − 4 = 0, altså a = 2, b = −4 og x = 2. Velger du andregrad med a = 0, ber verktøyet deg bytte til førstegrad i stedet for å dele på null.