Vergelijkingen oplossen
Vul de coëfficiënten in, dan wordt de vergelijking opgelost, met discriminant en top erbij.
ax² + bx + c = 0
Oplossingen
x1 = 1 x2 = 2
Ontbonden: (x − 1)(x − 2)
- Discriminantb² − 4ac bepaalt het aantal reële nulpunten.1
- TopHet laagste of hoogste punt van de parabool.(1,5, -0,25)
- Symmetrieasx = 1,5
De berekening
x = (−(-3) ± √1) / (2 · 1)
Zo werkt het
Een lineaire vergelijking heeft altijd precies één oplossing, zolang de coëfficiënt vóór x niet nul is. Is die nul, dan is er ofwel helemaal geen oplossing, ofwel zijn er oneindig veel.
De kwadratische vergelijking wordt opgelost met de abc-formule, in de numeriek stabiele vorm die hieronder wordt beschreven. Wiskundig geeft die dezelfde nulpunten als de abc-formule zoals je die op school leert. De discriminant b² − 4ac bepaalt hoeveel reële nulpunten er zijn.
Is de discriminant positief, dan zijn er twee nulpunten, is hij nul, dan is er één dubbel nulpunt, en is hij negatief, dan zijn er geen reële maar twee complexe, die elkaars spiegelbeeld zijn.
De top is het laagste of hoogste punt van de parabool. Hij ligt altijd precies tussen de nulpunten, bij x = −b / 2a, wat tegelijk de symmetrieas is.
De tool gebruikt een numeriek stabiele vorm van de abc-formule. De schoolformule trekt twee bijna even grote getallen van elkaar af als b² veel groter is dan 4ac, en verliest dan het kleinste nulpunt helemaal.
Zo worden de nulpunten gevonden
De tool berekent eerst q = −½(b + teken van b × √D), met D = b² − 4ac. Het ene nulpunt is q / a en het andere c / q. Als b nul is, geldt het teken als plus. Dat komt overeen met de herschrijving van de abc-formule door David Goldberg: het nulpunt waarvoor de formule twee bijna even grote getallen van elkaar zou aftrekken, wordt in plaats daarvan als c / q berekend, omdat het product van de nulpunten altijd c / a is.
De nulpunten staan oplopend, met hoogstens tien significante cijfers. Is de discriminant negatief, dan wordt het antwoord geschreven als −b / 2a ± √(−D) / |2a| maal i.
Een discriminant die alleen door afrondingsfouten van nul verschilt, telt als nul, omdat b² en 4ac elk apart worden afgerond. Met a = 1, b = 0,2 en c = 0,01 komt b² − 4ac in drijvende komma uit op 6,9 × 10⁻¹⁸, maar de tool geeft het dubbele nulpunt −0,1 en niet twee nulpunten vlak naast elkaar.
Voorbeeld: een heel klein nulpunt
Neem x² + 100.000.000x + 1 = 0, dus a = 1, b = 100.000.000 en c = 1. De schoolformule geeft het kleine nulpunt als (−b + √D) / 2, en met de precisie van de computer komt dat uit op ongeveer −0,00000000745. Dat zit er ongeveer een kwart naast, en met b = 1.000.000.000 geeft de schoolformule zelfs 0.
De tool vindt q = −100.000.000, en de nulpunten worden q / a = −100.000.000 en c / q = −0,00000001, dat als macht van tien wordt getoond.
De vergelijking in de juiste vorm zetten
De tool lost alleen vergelijkingen op met nul aan één kant. Heb je x² = 3x − 2, breng dan alles naar links: x² − 3x + 2 = 0 geeft a = 1, b = −3 en c = 2, en de nulpunten 1 en 2. De berekening onder het antwoord toont x = (−(−3) ± √1) / (2 · 1) en de ontbonden vorm (x − 1)(x − 2). Een ontbrekende term heeft coëfficiënt nul, en een minteken gaat mee in de coëfficiënt.
De lineaire vergelijking 2x + 3 = 7 wordt op dezelfde manier 2x − 4 = 0, dus a = 2, b = −4 en x = 2. Kies je kwadratisch met a = 0, dan vraagt de tool je over te schakelen naar lineair in plaats van door nul te delen.