Risolutore di equazioni
Inserisci i coefficienti e l’equazione viene risolta, con discriminante e vertice in aggiunta.
ax² + bx + c = 0
Soluzioni
x1 = 1 x2 = 2
Scomposta: (x − 1)(x − 2)
- Discriminanteb² − 4ac decide il numero di radici reali.1
- VerticeIl punto più basso o più alto della parabola.(1,5, -0,25)
- Asse di simmetriax = 1,5
Il calcolo
x = (−(-3) ± √1) / (2 · 1)
Come funziona
Un’equazione di primo grado ha sempre esattamente una soluzione, purché il coefficiente della x non sia zero. Se è zero, o non c’è alcuna soluzione oppure ce ne sono infinite.
L’equazione di secondo grado si risolve con la formula risolutiva, nella forma numericamente stabile descritta più avanti. Matematicamente dà le stesse radici della formula che si impara a scuola. Il discriminante b² − 4ac decide quante radici reali ci sono.
Se il discriminante è positivo ci sono due radici, se è zero ce n’è una doppia, e se è negativo non ce ne sono reali ma due complesse, l’una il riflesso dell’altra.
Il vertice è il punto più basso o più alto della parabola. Sta sempre esattamente fra le radici, in x = −b / 2a, che è anche l’asse di simmetria.
Lo strumento usa una forma numericamente stabile della formula risolutiva. La formula scolastica sottrae due numeri quasi uguali quando b² è molto più grande di 4ac, e allora perde del tutto la radice più piccola.
Come si trovano le radici
Lo strumento calcola prima q = −½(b + segno di b × √D), dove D = b² − 4ac. Una radice è q / a e l’altra c / q. Quando b è zero il segno si prende positivo. Corrisponde alla riscrittura della formula proposta da David Goldberg: la radice per cui la formula sottrarrebbe due numeri quasi uguali si calcola invece come c / q, perché il prodotto delle radici è sempre c / a.
Le radici sono elencate in ordine crescente con al massimo dieci cifre significative. Quando il discriminante è negativo, la risposta si scrive come −b / 2a ± √(−D) / |2a| per i.
Un discriminante che si discosta da zero solo per errori di arrotondamento conta come zero, perché b² e 4ac vengono arrotondati separatamente. Con a = 1, b = 0,2 e c = 0,01, b² − 4ac risulta 6,9 × 10⁻¹⁸, ma lo strumento dà la radice doppia −0,1, non due radici vicine.
Esempio: una radice molto piccola
Prendi x² + 100.000.000x + 1 = 0, quindi a = 1, b = 100.000.000 e c = 1. La formula scolastica dà la radice piccola come (−b + √D) / 2, che con la precisione del computer risulta circa −0,00000000745. È sbagliata di circa un quarto, e con b = 1.000.000.000 la formula scolastica dà addirittura 0.
Lo strumento ottiene q = −100.000.000, e le radici diventano q / a = −100.000.000 e c / q = −0,00000001, che compare come potenza di dieci.
Mettere l’equazione nella forma giusta
Lo strumento risolve solo equazioni con lo zero da una parte. Se hai x² = 3x − 2, porta tutto a sinistra: x² − 3x + 2 = 0 dà a = 1, b = −3 e c = 2, e le radici 1 e 2. Il calcolo sotto la risposta mostra x = (−(−3) ± √1) / (2 · 1) e la forma scomposta (x − 1)(x − 2). Un termine mancante ha coefficiente zero, e il segno meno va nel coefficiente.
Allo stesso modo l’equazione di primo grado 2x + 3 = 7 diventa 2x − 4 = 0, quindi a = 2, b = −4 e x = 2. Se scegli il secondo grado con a = 0, lo strumento ti chiede di passare al primo grado invece di dividere per zero.