Gleichungslöser
Geben Sie die Koeffizienten ein, dann wird die Gleichung gelöst, mit Diskriminante und Scheitelpunkt obendrein.
ax² + bx + c = 0
Lösungen
x1 = 1 x2 = 2
Faktorisiert: (x − 1)(x − 2)
- Diskriminanteb² − 4ac entscheidet über die Zahl der reellen Nullstellen.1
- ScheitelpunktDer tiefste oder höchste Punkt der Parabel.(1,5, −0,25)
- Symmetrieachsex = 1,5
Die Rechnung
x = (−(−3) ± √1) / (2 · 1)
So funktioniert es
Eine lineare Gleichung hat immer genau eine Lösung, solange der Koeffizient vor x nicht null ist. Ist er null, gibt es entweder gar keine Lösung oder unendlich viele.
Die quadratische Gleichung wird mit der Lösungsformel gelöst, in der numerisch stabilen Form, die weiter unten beschrieben ist. Mathematisch ergibt sie dieselben Nullstellen wie die Mitternachtsformel oder die p-q-Formel aus der Schule. Die Diskriminante b² − 4ac entscheidet, wie viele reelle Nullstellen es gibt.
Ist die Diskriminante positiv, gibt es zwei Nullstellen, ist sie null, gibt es eine doppelte, und ist sie negativ, gibt es keine reellen, sondern zwei komplexe, die einander spiegeln.
Der Scheitelpunkt ist der tiefste oder höchste Punkt der Parabel. Er liegt immer genau zwischen den Nullstellen, bei x = −b / 2a, was zugleich die Symmetrieachse ist.
Das Werkzeug nutzt eine numerisch stabile Form der Lösungsformel. Die Schulformel subtrahiert zwei fast gleich große Zahlen, wenn b² viel größer ist als 4ac, und verliert dann die kleinere Nullstelle ganz.
So werden die Nullstellen gefunden
Das Werkzeug berechnet zuerst q = −½(b + Vorzeichen von b · √D) mit D = b² − 4ac. Die eine Nullstelle ist q / a, die andere c / q. Ist b null, gilt das Vorzeichen als plus. Das entspricht David Goldbergs Umformung der Lösungsformel: Die Nullstelle, bei der die Formel zwei fast gleiche Zahlen voneinander abziehen würde, wird stattdessen als c / q berechnet, denn das Produkt der Nullstellen ist immer c / a.
Die Nullstellen erscheinen aufsteigend mit höchstens zehn signifikanten Stellen. Ist die Diskriminante negativ, lautet die Antwort −b / 2a ± √(−D) / |2a| mal i.
Eine Diskriminante, die nur durch Rundungsfehler von null abweicht, gilt als null, weil b² und 4ac getrennt gerundet werden. Mit a = 1, b = 0,2 und c = 0,01 ergibt b² − 4ac in Gleitkommazahlen 6,9 · 10⁻¹⁸, das Werkzeug liefert aber die doppelte Nullstelle −0,1 und nicht zwei dicht beieinanderliegende.
Beispiel: eine sehr kleine Nullstelle
Nehmen Sie x² + 100 000 000x + 1 = 0, also a = 1, b = 100 000 000 und c = 1. Die Schulformel liefert die kleine Nullstelle als (−b + √D) / 2, was bei der Genauigkeit des Computers etwa −0,00000000745 ergibt. Das ist um rund ein Viertel falsch, und mit b = 1 000 000 000 liefert die Schulformel sogar 0.
Das Werkzeug erhält q = −100 000 000, und die Nullstellen sind q / a = −100 000 000 und c / q = −0,00000001, was als Zehnerpotenz angezeigt wird.
Die Gleichung in die richtige Form bringen
Das Werkzeug löst nur Gleichungen, bei denen auf einer Seite null steht. Lautet Ihre Gleichung x² = 3x − 2, bringen Sie alles nach links: x² − 3x + 2 = 0 ergibt a = 1, b = −3 und c = 2 und die Nullstellen 1 und 2. Die Rechnung unter der Antwort zeigt x = (−(−3) ± √1) / (2 · 1) und die faktorisierte Form (x − 1)(x − 2). Ein fehlendes Glied hat den Koeffizienten null, und ein Minuszeichen gehört in den Koeffizienten.
Die lineare Gleichung 2x + 3 = 7 wird ebenso zu 2x − 4 = 0, also a = 2, b = −4 und x = 2. Wählen Sie quadratisch mit a = 0, bittet das Werkzeug Sie, zu linear zu wechseln, statt durch null zu teilen.