Resolver ecuaciones
Escribe los coeficientes y se resuelve la ecuación, con el discriminante y el vértice de regalo.
ax² + bx + c = 0
Soluciones
x1 = 1 x2 = 2
Factorizada: (x − 1)(x − 2)
- Discriminanteb² − 4ac decide el número de raíces reales.1
- VérticeEl punto más bajo o más alto de la parábola.(1.5, -0.25)
- Eje de simetríax = 1.5
El desarrollo
x = (−(-3) ± √1) / (2 · 1)
Cómo funciona
Una ecuación de primer grado siempre tiene exactamente una solución, siempre que el coeficiente de x no sea cero. Si es cero, no tiene ninguna solución o tiene infinitas.
La ecuación de segundo grado se resuelve con la fórmula general, en la forma numéricamente estable que se describe más abajo. Matemáticamente da las mismas raíces que la fórmula que se aprende en la escuela. El discriminante b² − 4ac decide cuántas raíces reales hay.
Un discriminante positivo da dos raíces, uno igual a cero da una raíz doble y uno negativo no da raíces reales, sino dos complejas conjugadas.
El vértice es el punto más bajo o más alto de la parábola. Siempre está a medio camino entre las raíces, en x = −b / 2a, que es también el eje de simetría.
La herramienta usa una forma numéricamente estable de la fórmula. La versión de los libros de texto resta dos números casi iguales cuando b² es mucho mayor que 4ac, y pierde por completo la raíz más pequeña.
Cómo se encuentran las raíces
La herramienta calcula primero q = −½(b + signo de b × √D), donde D = b² − 4ac. Una raíz es q / a y la otra c / q. Cuando b es cero, el signo se toma como más. Corresponde a la reescritura de la fórmula que describe David Goldberg: la raíz para la que la fórmula restaría dos números casi iguales se calcula en cambio como c / q, porque el producto de las raíces siempre es c / a.
Las raíces se muestran en orden ascendente con diez cifras significativas como máximo. Cuando el discriminante es negativo, la respuesta se escribe como −b / 2a ± √(−D) / |2a| por i.
Un discriminante que solo difiere de cero por errores de redondeo cuenta como cero, porque b² y 4ac se redondean por separado. Con a = 1, b = 0.2 y c = 0.01, b² − 4ac sale 6.9 × 10⁻¹⁸, pero la herramienta da la raíz doble −0.1.
Ejemplo: una raíz muy pequeña
Toma x² + 100 000 000x + 1 = 0, así que a = 1, b = 100 000 000 y c = 1. La fórmula general da la raíz pequeña como (−b + √D) / 2, que con la precisión de la computadora sale alrededor de −0.000 000 007 45. Eso tiene un error de más o menos una cuarta parte, y con b = 1 000 000 000 la fórmula general da incluso 0.
La herramienta obtiene q = −100 000 000, y las raíces son q / a = −100 000 000 y c / q = −0.000 000 01, que se muestra como potencia de diez.
Poner la ecuación en la forma correcta
La herramienta solo resuelve ecuaciones con cero en un lado. Si tienes x² = 3x − 2, pasa todo a la izquierda: x² − 3x + 2 = 0 da a = 1, b = −3 y c = 2, y las raíces 1 y 2. El desarrollo debajo de la respuesta muestra x = (−(−3) ± √1) / (2 · 1) y la forma factorizada (x − 1)(x − 2). Un término que falta tiene coeficiente cero, y el signo menos va dentro del coeficiente.
La ecuación de primer grado 2x + 3 = 7 se convierte igual en 2x − 4 = 0, así que a = 2, b = −4 y x = 2. Si eliges segundo grado con a = 0, la herramienta te pide cambiar a primer grado.