Rezolvare de ecuații
Introdu coeficienții și ecuația este rezolvată, cu discriminantul și vârful pe deasupra.
ax² + bx + c = 0
Soluții
x1 = 1 x2 = 2
Descompus în factori: (x − 1)(x − 2)
- Discriminantb² − 4ac arată numărul de rădăcini reale.1
- VârfPunctul cel mai de jos sau cel mai de sus al parabolei.(1,5, -0,25)
- Axa de simetriex = 1,5
Calculul
x = (−(-3) ± √1) / (2 · 1)
Cum funcționează
O ecuație de gradul întâi are întotdeauna exact o soluție, atâta timp cât coeficientul lui x nu este zero. Dacă este zero, nu există nicio soluție sau există o infinitate.
Ecuația de gradul al doilea se rezolvă cu formula rădăcinilor, în forma numeric stabilă descrisă mai jos. Matematic, ea dă aceleași rădăcini ca formula învățată la școală. Discriminantul b² − 4ac arată câte rădăcini reale există.
Un discriminant pozitiv dă două rădăcini, zero dă o rădăcină dublă, iar unul negativ nu dă rădăcini reale, ci două complexe conjugate.
Vârful este punctul cel mai de jos sau cel mai de sus al parabolei. Se află mereu la jumătatea drumului dintre rădăcini, la x = −b / 2a, care este și axa de simetrie.
Instrumentul folosește o formă numeric stabilă a formulei. Varianta din manual scade două numere aproape egale când b² este mult mai mare decât 4ac și pierde complet rădăcina mai mică.
Cum sunt găsite rădăcinile
Instrumentul calculează întâi q = −½(b + semnul lui b × √D), unde D = b² − 4ac. O rădăcină este q / a, iar cealaltă c / q. Când b este zero, semnul se ia plus. Este rescrierea formulei descrisă de David Goldberg: rădăcina pentru care formula ar scădea două numere aproape egale este calculată în schimb ca c / q, pentru că produsul rădăcinilor este întotdeauna c / a.
Rădăcinile sunt afișate în ordine crescătoare, cu cel mult zece cifre semnificative. Când discriminantul este negativ, răspunsul este scris ca −b / 2a ± √(−D) / |2a| înmulțit cu i.
Un discriminant care diferă de zero doar din cauza erorilor de rotunjire este socotit zero, pentru că b² și 4ac sunt rotunjite separat. Cu a = 1, b = 0,2 și c = 0,01, b² − 4ac dă în virgulă mobilă 6,9 × 10⁻¹⁸, dar instrumentul dă rădăcina dublă −0,1, nu două rădăcini foarte apropiate.
Exemplu: o rădăcină foarte mică
Fie x² + 100.000.000x + 1 = 0, adică a = 1, b = 100.000.000 și c = 1. Formula din manual dă rădăcina mică drept (−b + √D) / 2, care la precizia calculatorului iese aproximativ −0,00000000745. Rezultatul este greșit cu aproximativ un sfert, iar cu b = 1.000.000.000 formula din manual dă chiar 0.
Instrumentul obține q = −100.000.000, iar rădăcinile devin q / a = −100.000.000 și c / q = −0,00000001, afișată ca putere a lui zece.
Aducerea ecuației la forma potrivită
Instrumentul rezolvă doar ecuații în care unul dintre membri este zero. Dacă ai x² = 3x − 2, mută totul în stânga: x² − 3x + 2 = 0 dă a = 1, b = −3 și c = 2, iar rădăcinile 1 și 2. Calculul de sub răspuns arată x = (−(−3) ± √1) / (2 · 1) și forma descompusă în factori (x − 1)(x − 2). Un termen care lipsește are coeficientul zero, iar un minus intră în coeficient.
Ecuația de gradul întâi 2x + 3 = 7 devine la fel 2x − 4 = 0, deci a = 2, b = −4 și x = 2. Dacă alegi gradul al doilea cu a = 0, instrumentul îți cere să treci la gradul întâi, în loc să împartă la zero.