Resolver equações
Digite os coeficientes e a equação é resolvida, com discriminante e vértice de brinde.
ax² + bx + c = 0
Soluções
x1 = 1 x2 = 2
Fatorada: (x − 1)(x − 2)
- Discriminanteb² − 4ac decide o número de raízes reais.1
- VérticeO ponto mais baixo ou mais alto da parábola.(1,5, -0,25)
- Eixo de simetriax = 1,5
O cálculo
x = (−(-3) ± √1) / (2 · 1)
Como funciona
Uma equação de primeiro grau sempre tem exatamente uma solução, desde que o coeficiente de x não seja zero. Se for zero, não há solução nenhuma ou há infinitas.
A equação de segundo grau é resolvida pela fórmula resolutiva, na forma numericamente estável descrita mais abaixo. Matematicamente, ela dá as mesmas raízes que a fórmula de Bhaskara ensinada na escola. O discriminante b² − 4ac decide quantas raízes reais existem.
Um discriminante positivo dá duas raízes, zero dá uma raiz dupla, e um negativo não dá raízes reais, mas duas complexas espelhadas.
O vértice é o ponto mais baixo ou mais alto da parábola. Ele sempre fica no meio do caminho entre as raízes, em x = −b / 2a, que também é o eixo de simetria.
A ferramenta usa uma forma numericamente estável da fórmula. A versão dos livros subtrai dois números quase iguais quando b² é muito maior que 4ac, e perde por completo a raiz menor.
Como as raízes são calculadas
A ferramenta calcula primeiro q = −½(b + sinal de b × √D), em que D = b² − 4ac. Uma raiz é q / a e a outra, c / q. Com b igual a zero, o sinal é positivo. Isso corresponde ao rearranjo da fórmula descrito por David Goldberg: a raiz em que a fórmula subtrairia dois números quase iguais é calculada como c / q, já que o produto das raízes é sempre c / a.
As raízes aparecem em ordem crescente, com no máximo dez algarismos significativos. Quando o discriminante é negativo, a resposta é escrita como −b / 2a ± √(−D) / |2a| vezes i.
Um discriminante que só difere de zero por erro de arredondamento conta como zero, já que b² e 4ac são arredondados separadamente. Com a = 1, b = 0,2 e c = 0,01, b² − 4ac dá 6,9 × 10⁻¹⁸, mas a ferramenta dá a raiz dupla −0,1, e não duas raízes próximas.
Exemplo: uma raiz muito pequena
Tome x² + 100 000 000x + 1 = 0, ou seja, a = 1, b = 100 000 000 e c = 1. A fórmula dos livros dá a raiz pequena como (−b + √D) / 2, que com a precisão do computador sai em cerca de −0,000 000 007 45. Isso está errado em cerca de um quarto, e com b = 1 000 000 000 a fórmula dos livros chega a dar 0.
A ferramenta obtém q = −100 000 000, e as raízes ficam q / a = −100 000 000 e c / q = −0,000 000 01, que aparece como potência de dez.
Como pôr a equação na forma certa
A ferramenta só resolve equações com zero em um dos lados. Se você tem x² = 3x − 2, passe tudo para a esquerda: x² − 3x + 2 = 0 dá a = 1, b = −3 e c = 2, e as raízes 1 e 2. O cálculo abaixo da resposta mostra x = (−(−3) ± √1) / (2 · 1) e a forma fatorada (x − 1)(x − 2). Um termo que falta tem coeficiente zero, e o sinal de menos vai junto para o coeficiente.
A equação de primeiro grau 2x + 3 = 7 vira, do mesmo jeito, 2x − 4 = 0, então a = 2, b = −4 e x = 2. Se você escolher segundo grau com a = 0, a ferramenta pede para mudar para primeiro grau em vez de dividir por zero.