Rozwiązywanie równań
Wpisz współczynniki, a równanie zostanie rozwiązane, razem z wyróżnikiem i wierzchołkiem.
ax² + bx + c = 0
Rozwiązania
x1 = 1 x2 = 2
Postać iloczynowa: (x − 1)(x − 2)
- Wyróżnikb² − 4ac decyduje o liczbie pierwiastków rzeczywistych.1
- WierzchołekNajniższy lub najwyższy punkt paraboli.(1,5, -0,25)
- Oś symetriix = 1,5
Obliczenia
x = (−(-3) ± √1) / (2 · 1)
Jak to działa
Równanie liniowe ma zawsze dokładnie jedno rozwiązanie, o ile współczynnik przy x nie jest zerem. Jeśli jest zerem, rozwiązań nie ma wcale albo jest ich nieskończenie wiele.
Równanie kwadratowe rozwiązuje się wzorami na pierwiastki, w numerycznie stabilnej postaci opisanej niżej. Matematycznie dają one te same pierwiastki co wzory poznawane w szkole. Wyróżnik (delta) b² − 4ac decyduje, ile jest pierwiastków rzeczywistych.
Dodatni wyróżnik daje dwa pierwiastki, zerowy jeden pierwiastek podwójny, a ujemny nie daje pierwiastków rzeczywistych, tylko dwa zespolone, które są swoim lustrzanym odbiciem.
Wierzchołek to najniższy lub najwyższy punkt paraboli. Leży zawsze w połowie drogi między pierwiastkami, w x = −b / 2a, co jest też osią symetrii.
Narzędzie używa numerycznie stabilnej postaci wzoru. Wersja podręcznikowa odejmuje dwie prawie równe liczby, gdy b² jest znacznie większe od 4ac, i całkowicie gubi mniejszy pierwiastek.
Jak znajdowane są pierwiastki
Narzędzie najpierw oblicza q = −½(b + znak b · √Δ), gdzie Δ = b² − 4ac. Jeden pierwiastek to q / a, drugi c / q. Gdy b jest zerem, znak przyjmuje się jako plus. Odpowiada to przekształceniu wzoru opisanemu przez Davida Goldberga: pierwiastek, przy którym wzór odejmowałby dwie prawie równe liczby, jest liczony jako c / q, bo iloczyn pierwiastków zawsze wynosi c / a.
Pierwiastki są podawane rosnąco, z najwyżej dziesięcioma cyframi znaczącymi. Gdy wyróżnik jest ujemny, wynik ma postać −b / 2a ± √(−Δ) / |2a| razy i.
Wyróżnik, który różni się od zera tylko błędem zaokrąglenia, jest traktowany jak zero, bo b² i 4ac są zaokrąglane osobno. Dla a = 1, b = 0,2 i c = 0,01 wartość b² − 4ac wychodzi 6,9 · 10⁻¹⁸, ale narzędzie podaje pierwiastek podwójny −0,1, a nie dwa bliskie sobie pierwiastki.
Przykład: bardzo mały pierwiastek
Weź x² + 100 000 000x + 1 = 0, czyli a = 1, b = 100 000 000 i c = 1. Szkolny wzór daje mały pierwiastek jako (−b + √Δ) / 2, co przy precyzji komputera wychodzi około −0,00000000745. To błąd mniej więcej o jedną czwartą, a przy b = 1 000 000 000 szkolny wzór daje nawet 0. Narzędzie dostaje q = −100 000 000, a pierwiastki to q / a = −100 000 000 i c / q = −0,00000001, pokazane w zapisie wykładniczym jako −1E-8.
Sprowadź równanie do właściwej postaci
Narzędzie rozwiązuje tylko równania, w których po jednej stronie stoi zero. Jeśli masz x² = 3x − 2, przenieś wszystko na lewą stronę: x² − 3x + 2 = 0 daje a = 1, b = −3 i c = 2 oraz pierwiastki 1 i 2. Obliczenia pod wynikiem pokazują x = (−(−3) ± √1) / (2 · 1) i postać iloczynową (x − 1)(x − 2). Brakujący wyraz ma współczynnik zero, a minus wchodzi do współczynnika.
Równanie liniowe 2x + 3 = 7 staje się tak samo 2x − 4 = 0, czyli a = 2, b = −4 i x = 2. Jeśli wybierzesz równanie kwadratowe z a = 0, narzędzie poprosi o przełączenie na liniowe, zamiast dzielić przez zero.