Resolver triángulos
Escribe tres de las seis medidas, al menos una de ellas un lado, y se calcula el resto.
El lado a es opuesto al ángulo A, b a B y c a C. Escribe exactamente tres medidas, al menos una de ellas un lado.
Lados
Ángulos
Cómo funciona
Un triángulo queda determinado por tres medidas, pero solo si al menos una de ellas es un lado. Tres ángulos dan la forma sin el tamaño, porque todos los triángulos semejantes tienen los mismos ángulos.
Con tres lados conocidos se resuelve con el teorema del coseno, que da cada ángulo a partir de los tres lados. La herramienta comprueba primero la desigualdad triangular: el lado más largo debe ser más corto que los otros dos juntos.
Con dos lados y el ángulo comprendido entre ellos también se resuelve con el teorema del coseno, que da directamente el tercer lado.
Un lado y dos ángulos es el caso más sencillo: el tercer ángulo sale de que los ángulos suman 180 grados, y el teorema del seno da los lados que faltan.
Dos lados y un ángulo que no está entre ellos es el caso ambiguo. El teorema del seno da una posibilidad aguda y otra obtusa, y las dos pueden ser triángulos reales. En ese caso se muestran una junto a otra en lugar de elegir la herramienta por ti.
Los triángulos rectángulos no son un caso especial aquí. Escribe tus medidas y los noventa grados salen solos, como cuando 3, 4 y 5 dan un ángulo recto.
Cómo calcula la herramienta
El teorema del seno dice que a / sen A = b / sen B = c / sen C, y el del coseno, que c² = a² + b² − 2ab cos C. El área se calcula siempre como ½ × a × b × sen C, una de las formas que da el manual de funciones matemáticas del NIST, y el perímetro como la suma de los lados. El último ángulo se obtiene como 180 grados menos los otros dos.
Todas las medidas deben ser mayores que cero. Un ángulo de 180 grados o más se rechaza, igual que dos ángulos que suman 180 o más. Las respuestas se muestran con ocho cifras significativas, con los ángulos en grados.
Ejemplo: el caso ambiguo
El botón Caso ambiguo llena a = 7, b = 10 y A = 40°. El teorema del seno da sen B = 10 × sen 40° / 7 ≈ 0.9183. Dos ángulos tienen ese seno: B ≈ 66.674 177° y 180° menos eso, 113.325 82°. Los dos caben junto a 40°, así que hay dos triángulos.
En el primero, C ≈ 73.325 823°, c ≈ 10.432 16 y el área ≈ 33.528 317. En el segundo, C ≈ 26.674 177°, c ≈ 4.888 728 6 y el área ≈ 15.712 071. Los dos tienen los mismos lados a y b y el mismo ángulo A.
Uno, dos o ningún triángulo
Con dos lados y un ángulo que no está entre ellos, la longitud del lado opuesto al ángulo decide cuántos triángulos existen. Si A es agudo y a es más corto que b × sen A, no hay ninguno: con a = 6 en el ejemplo, b × sen A ≈ 6.43, y la herramienta dice que las medidas no forman un triángulo. Si a es exactamente igual a b × sen A, hay uno, y tiene un ángulo recto: a = 5, b = 10 y A = 30° dan B = 90°.
Si a está entre b × sen A y b, hay dos triángulos, como en el ejemplo de arriba. Si a es igual de largo que b o más, solo hay uno, porque la opción obtusa ya no cabe. Con a = 12, B ≈ 32.388 434° y C ≈ 107.611 57°. Si A es recto u obtuso, a tiene que ser más largo que b; si no, no hay triángulo.