Dreiecksrechner
Geben Sie drei der sechs Maße ein, darunter mindestens eine Seite, dann wird der Rest berechnet.
Die Seite a liegt dem Winkel A gegenüber, b dem B und c dem C. Geben Sie genau drei Maße ein, darunter mindestens eine Seite.
Seiten
Winkel
So funktioniert es
Ein Dreieck ist durch drei Maße bestimmt, aber nur wenn mindestens eines davon eine Seite ist. Drei Winkel geben die Form ohne die Größe, denn alle ähnlichen Dreiecke haben dieselben Winkel.
Drei bekannte Seiten löst der Kosinussatz, der jeden Winkel aus den drei Seiten liefert. Das Werkzeug prüft zuerst die Dreiecksungleichung: Die längste Seite muss kürzer sein als die beiden anderen zusammen.
Zwei Seiten mit dem Winkel dazwischen löst ebenfalls der Kosinussatz, der die dritte Seite direkt liefert.
Eine Seite und zwei Winkel sind am einfachsten: Der dritte Winkel folgt daraus, dass die Winkelsumme 180 Grad beträgt, und der Sinussatz liefert die übrigen Seiten.
Zwei Seiten und ein Winkel, der nicht dazwischen liegt, ist der mehrdeutige Fall. Der Sinussatz gibt sowohl eine spitze als auch eine stumpfe Möglichkeit, und beide können echte Dreiecke sein. Dann werden sie nebeneinander gezeigt, statt dass das Werkzeug für Sie wählt.
Rechtwinklige Dreiecke sind hier kein Sonderfall. Geben Sie Ihre Maße ein, dann fallen neunzig Grad von selbst heraus, so wie bei 3, 4 und 5.
So rechnet das Werkzeug
Der Sinussatz besagt a / sin A = b / sin B = c / sin C, der Kosinussatz c² = a² + b² − 2ab · cos C. Die Fläche wird immer als ½ · a · b · sin C berechnet, eine der Formen im Handbuch mathematischer Funktionen des NIST, der Umfang als Summe der Seiten. Der letzte Winkel ergibt sich als 180 Grad minus die beiden anderen.
Jedes Maß muss größer als null sein. Ein Winkel von 180 Grad oder mehr wird abgelehnt, ebenso zwei Winkel, die zusammen 180 Grad oder mehr ergeben. Die Antworten erscheinen mit acht signifikanten Stellen, Winkel in Grad.
Beispiel: der mehrdeutige Fall
Die Beispielschaltfläche trägt a = 7, b = 10 und A = 40° ein. Der Sinussatz ergibt sin B = 10 · sin 40° / 7 ≈ 0,9183. Zwei Winkel haben diesen Sinus: B ≈ 66,674177° und 180° minus diesen Wert, 113,32582°. Beide passen neben 40°, es gibt also zwei Dreiecke.
Im ersten ist C ≈ 73,325823°, c ≈ 10,43216 und die Fläche ≈ 33,528317. Im zweiten ist C ≈ 26,674177°, c ≈ 4,8887286 und die Fläche ≈ 15,712071. Beide haben dieselben Seiten a und b und denselben Winkel A.
Eins, zwei oder kein Dreieck
Mit zwei Seiten und einem Winkel, der nicht zwischen ihnen liegt, entscheidet die Länge der Seite gegenüber dem Winkel, wie viele Dreiecke es gibt. Ist A spitz und a kürzer als b · sin A, gibt es keines: Mit a = 6 im Beispiel ist b · sin A ≈ 6,43, und das Werkzeug meldet, dass die Maße kein Dreieck bilden. Ist a genau gleich b · sin A, gibt es eines, und es ist rechtwinklig: a = 5, b = 10 und A = 30° ergeben B = 90°.
Liegt a zwischen b · sin A und b, gibt es zwei Dreiecke wie im Beispiel oben. Ist a so lang wie b oder länger, gibt es nur eines, weil die stumpfe Möglichkeit nicht mehr passt. Mit a = 12 ist B ≈ 32,388434° und C ≈ 107,61157°. Ist A ein rechter oder stumpfer Winkel, muss a länger als b sein, sonst gibt es kein Dreieck.