Koordinatengeometrie
Geben Sie zwei Punkte in der Ebene ein, dann werden Abstand, Mittelpunkt und Geradengleichung berechnet.
Abstand
7,2111026
Mit dem Satz des Pythagoras aus den Unterschieden in x und y berechnet.
- Mittelpunkt(4; 4)
- SteigungÄnderung in y geteilt durch Änderung in x.0,66666667
- Schnittpunkt mit der y-Achse1,3333333
- Geradengleichungy = 0,66666667x + 1,3333333
- Winkel zur x-AchseGegen den Uhrzeigersinn positiv, zwischen −90 und 90 Grad.33,690068°
- Δx · Δy6 · 4
Die Formeln
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)M = ((x₁ + x₂) / 2; (y₁ + y₂) / 2)m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)b = y₁ − m · x₁α = arctan(m)
So funktioniert es
Der Abstand zwischen zwei Punkten folgt aus dem Satz des Pythagoras: Der Unterschied in x und der Unterschied in y sind die Katheten, und der Abstand ist die Hypotenuse.
Der Mittelpunkt ist der Durchschnitt der Koordinaten, also der Punkt genau zwischen den beiden auf der Geraden.
Die Steigung ist die Änderung in y geteilt durch die Änderung in x. Eine Steigung von 2 bedeutet, dass die Gerade je Schritt nach rechts zwei Schritte nach oben steigt.
Die Geradengleichung wird als y = mx + b geschrieben, wobei m die Steigung ist und b der Wert, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet.
Eine senkrechte Gerade hat keine Steigung, weil die Änderung in x null ist und die Division durch null nicht definiert ist. Dann wird die Gerade stattdessen als x = eine Zahl geschrieben.
Der Winkel wird zur x-Achse gemessen und gegen den Uhrzeigersinn positiv gerechnet. Eine Steigung von 1 entspricht 45 Grad.
Beispiel
Das Werkzeug beginnt mit A = (1; 2) und B = (7; 6). Die Unterschiede sind Δx = 6 und Δy = 4. Der Abstand ist √(6² + 4²) = √52 ≈ 7,2111026, der Mittelpunkt (4; 4).
Die Steigung ist 4 / 6 = 2/3, angezeigt als 0,66666667. Die Gerade schneidet die y-Achse bei y = 2 − 2/3 · 1 = 4/3, angezeigt als 1,3333333, und die Gleichung lautet y = 0,66666667x + 1,3333333. Der Winkel zur x-Achse ist arctan(2/3) ≈ 33,690068 Grad.
Gerundete Zahlen in der Gleichung
Jede Zahl erscheint mit höchstens acht signifikanten Stellen, die Gleichung oben ist also eine Rundung der exakten Geraden y = 2/3 · x + 4/3. Brauchen Sie exakte Koeffizienten, berechnen Sie sie aus Δx und Δy in der letzten Zeile: Die Steigung ist Δy / Δx, der y-Achsenabschnitt y₁ − Δy / Δx · x₁. Mit 3 multipliziert wird das Beispiel zu 3y = 2x + 4.
Vertauschen Sie die Punkte, wechseln Δx und Δy das Vorzeichen, alles andere bleibt gleich. Das gilt auch für den Winkel, der arctan(m) ist und zwischen −90 und 90 Grad liegt; eine senkrechte Gerade bekommt 90 Grad.
Grenzfälle und Zeichnung
Die Felder nehmen Dezimalzahlen und negative Koordinaten, Punkte in allen vier Quadranten lassen sich also verwenden. Komma und Punkt gelten als Dezimalzeichen, außer wenn ein Punkt wie ein Tausenderpunkt vor genau drei Ziffern steht: 1.500 wird als die Zahl 1500 gelesen. Fallen die Punkte zusammen, gibt es keine Gerade, und das Werkzeug sagt das, statt einen Abstand von null zu zeigen. Eine waagerechte Gerade hat die Steigung 0 und wird als y = 0x + b geschrieben. Eine senkrechte Gerade wird als x = eine Zahl geschrieben, und Steigung und Schnittpunkt mit der y-Achse erscheinen als senkrecht. Der Mittelpunkt wird mit Semikolon zwischen den Koordinaten geschrieben, etwa (2,5; 4), weil ein Komma zwischen den Zahlen mit dem Dezimalkomma verwechselt werden kann. So empfiehlt es die Norm ISO 80000-2.
Die Zeichnung unter den Antworten hat auf beiden Achsen denselben Maßstab, eine Gerade mit der Steigung 1 sieht also auch nach 45 Grad aus. Der größere der Unterschiede in x und y bestimmt den Maßstab, und die Punkte werden im Rahmen zentriert. Die Koordinatenachsen werden dort gezeichnet, wo sie liegen, und mit x und y beschriftet. Eine Achse, die außerhalb des Rahmens liegt, fehlt, und bei den Punkten im Beispiel, wo der Ursprung knapp unterhalb und links des Rahmens liegt, ist keine von beiden zu sehen.