Coördinaatmeetkunde
Vul twee punten in het vlak in, dan worden de afstand, het middelpunt en de lijnvergelijking berekend.
Afstand
7,2111026
Met de stelling van Pythagoras uit de verschillen in x en y berekend.
- Middelpunt(4; 4)
- RichtingscoëfficiëntVerandering in y gedeeld door verandering in x.0,66666667
- Snijpunt met de y-as1,3333333
- Lijnvergelijkingy = 0,66666667x + 1,3333333
- Hoek met de x-asTegen de klok in positief, tussen −90 en 90 graden.33,690068°
- Δx · Δy6 · 4
De formules
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)M = ((x₁ + x₂) / 2; (y₁ + y₂) / 2)m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)b = y₁ − m · x₁α = arctan(m)
Zo werkt het
De afstand tussen twee punten volgt uit de stelling van Pythagoras: het verschil in x en het verschil in y zijn de rechthoekszijden, en de afstand is de schuine zijde.
Het middelpunt is het gemiddelde van de coördinaten, dus het punt precies tussen de twee op de lijn.
De richtingscoëfficiënt is de verandering in y gedeeld door de verandering in x. Een richtingscoëfficiënt van 2 betekent dat de lijn per stap naar rechts twee stappen omhoog gaat.
De lijnvergelijking wordt als y = mx + b geschreven, waarbij m de richtingscoëfficiënt is en b de waarde waar de lijn de y-as snijdt.
Een verticale lijn heeft geen richtingscoëfficiënt, omdat de verandering in x nul is en delen door nul niet gedefinieerd is. Dan wordt de lijn in plaats daarvan als x = een getal geschreven.
De hoek wordt ten opzichte van de x-as gemeten en tegen de klok in positief gerekend. Een richtingscoëfficiënt van 1 komt overeen met 45 graden.
Voorbeeld
De tool begint met A = (1; 2) en B = (7; 6). De verschillen zijn Δx = 6 en Δy = 4. De afstand is √(6² + 4²) = √52 ≈ 7,2111026 en het middelpunt (4; 4).
De richtingscoëfficiënt is 4 / 6 = 2/3, getoond als 0,66666667. De lijn snijdt de y-as waar y = 2 − 2/3 × 1 = 4/3, getoond als 1,3333333, en de vergelijking luidt y = 0,66666667x + 1,3333333. De hoek met de x-as is arctan(2/3) ≈ 33,690068 graden.
Afgeronde getallen in de vergelijking
Elk getal krijgt hoogstens acht significante cijfers, dus de vergelijking hierboven is een afronding van de exacte lijn y = 2/3 × x + 4/3. Heb je exacte coëfficiënten nodig, reken ze dan uit met Δx en Δy, die in de laatste regel staan: de richtingscoëfficiënt is Δy / Δx en het snijpunt met de y-as y₁ − Δy / Δx × x₁. Vermenigvuldigd met 3 wordt het voorbeeld 3y = 2x + 4.
Verwissel je de punten, dan krijgen Δx en Δy het andere teken, maar al het andere blijft gelijk. Dat geldt ook voor de hoek, die arctan(m) is en tussen −90 en 90 graden ligt; een verticale lijn krijgt 90 graden.
Grensgevallen en de figuur
De velden nemen decimale getallen en negatieve coördinaten, dus punten in alle vier de kwadranten zijn bruikbaar. Een komma is het decimaalteken, en een punt werkt ook, zoals in 2.5, behalve met precies drie cijfers erachter: 1.500 is vijftienhonderd. Vallen de punten samen, dan is er geen lijn, en dat zegt de tool in plaats van een afstand van nul te tonen. Een horizontale lijn heeft richtingscoëfficiënt 0 en wordt geschreven als y = 0x + b. Een verticale lijn wordt geschreven als x = een getal, en richtingscoëfficiënt en snijpunt worden als verticaal getoond. Het middelpunt wordt geschreven met een puntkomma tussen de coördinaten, zoals (2,5; 4), omdat een komma tussen de getallen met de decimale komma verward kan worden. Zo raadt de norm ISO 80000-2 het aan.
De figuur onder de antwoorden gebruikt op beide assen dezelfde schaal, zodat een lijn met richtingscoëfficiënt 1 er ook als 45 graden uitziet. Het grootste van de verschillen in x en y bepaalt de schaal, en de punten worden in het kader gecentreerd. De coördinaatassen worden getekend waar ze liggen en heten x en y. Een as die buiten het kader valt, wordt niet getekend, dus bij de punten uit het voorbeeld, waar de oorsprong net onder en links van het kader ligt, is geen van beide te zien.