Géométrie analytique
Saisissez deux points du plan, et distance, milieu et équation de la droite sont calculés.
Distance
7,2111026
Calculée avec le théorème de Pythagore à partir des écarts en x et en y.
- Milieu(4 ; 4)
- Coefficient directeurVariation en y divisée par variation en x.0,66666667
- Intersection avec l’axe des y1,3333333
- Équation de la droitey = 0,66666667x + 1,3333333
- Angle avec l’axe des xPositif dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, entre −90 et 90 degrés.33,690068°
- Δx · Δy6 · 4
Les formules
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)M = ((x₁ + x₂) / 2 ; (y₁ + y₂) / 2)m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)b = y₁ − m · x₁α = arctan(m)
Comment ça marche
La distance entre deux points découle du théorème de Pythagore : l’écart en x et l’écart en y sont les côtés de l’angle droit, et la distance est l’hypoténuse.
Le milieu est la moyenne des coordonnées, donc le point exactement à mi-chemin entre les deux sur la droite.
Le coefficient directeur est la variation en y divisée par la variation en x. Un coefficient de 2 signifie que la droite monte de deux pas pour un pas vers la droite.
L’équation de la droite s’écrit y = mx + b, où m est le coefficient directeur et b la valeur à laquelle la droite coupe l’axe des y.
Une droite verticale n’a pas de coefficient directeur, parce que la variation en x est nulle et que la division par zéro n’est pas définie. La droite s’écrit alors x = un nombre.
L’angle se mesure par rapport à l’axe des x et se compte positivement dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Un coefficient directeur de 1 correspond à 45 degrés.
Exemple
L’outil démarre avec A = (1 ; 2) et B = (7 ; 6). Les écarts valent Δx = 6 et Δy = 4. La distance vaut √(6² + 4²) = √52 ≈ 7,2111026, et le milieu est (4 ; 4).
Le coefficient directeur vaut 4 / 6 = 2/3, affiché 0,66666667. La droite coupe l’axe des y en y = 2 − 2/3 × 1 = 4/3, affiché 1,3333333, et l’équation s’écrit y = 0,66666667x + 1,3333333. L’angle avec l’axe des x vaut arctan(2/3) ≈ 33,690068 degrés.
Des nombres arrondis dans l’équation
Chaque nombre s’affiche avec huit chiffres significatifs au plus : l’équation ci-dessus est donc un arrondi de la droite exacte y = 2/3 × x + 4/3. S’il vous faut des coefficients exacts, calculez-les à partir de Δx et Δy, affichés à la dernière ligne : le coefficient directeur vaut Δy / Δx et l’ordonnée à l’origine y₁ − Δy / Δx × x₁. Multiplié par 3, l’exemple devient 3y = 2x + 4.
Si vous échangez les points, Δx et Δy changent de signe, mais tout le reste demeure. C’est vrai aussi de l’angle, qui vaut arctan(m) et reste compris entre −90 et 90 degrés ; une droite verticale reçoit 90 degrés.
Cas limites et figure
Les champs acceptent les décimaux et les coordonnées négatives : les points des quatre quadrants sont donc permis. Une virgule ou un point seul est toujours lu comme séparateur décimal, si bien que 1.500 est lu comme 1,5 et non comme mille cinq cents ; une espace entre les milliers est en revanche retirée. Les coordonnées affichées sont séparées par un point-virgule, comme le recommande la norme ISO 80000-2 lorsque la virgule sert de séparateur décimal : un milieu décimal s’écrit donc (2,5 ; 3). Si les points sont confondus, il n’y a pas de droite, et l’outil le dit au lieu d’afficher une distance nulle. Une droite horizontale a un coefficient directeur nul et s’écrit y = 0x + b. Une droite verticale s’écrit x = un nombre.
La figure sous les réponses emploie la même échelle sur les deux axes, si bien qu’une droite de coefficient directeur 1 paraît bien inclinée à 45 degrés. Le plus grand des écarts en x et en y fixe l’échelle, et les points sont centrés dans le cadre. Les axes de coordonnées sont tracés là où ils se trouvent et marqués x et y. Un axe qui tombe hors du cadre n’est pas tracé, si bien qu’avec les points de l’exemple, où l’origine se trouve juste au-dessous et à gauche du cadre, aucun n’apparaît.