Aire et périmètre
Choisissez la figure et saisissez les mesures : aire et périmètre sont calculés aussitôt.
Mesures
Résultat
Remplissez toutes les mesures.
Comment ça marche
L’aire se mesure en unités carrées et le périmètre en unités de longueur. L’outil calcule sans unité : la réponse est donc dans la même unité que votre saisie. Si vous saisissez des centimètres, l’aire vient en centimètres carrés.
L’aire du cercle vaut pi fois le rayon au carré, et la circonférence deux pi fois le rayon. Le diamètre vaut deux fois le rayon.
L’aire du triangle vaut la moitié de la base fois la hauteur, la hauteur étant mesurée perpendiculairement à la base. Si vous connaissez plutôt trois côtés ou angles, la bonne place est le calcul du triangle.
L’aire de l’ellipse vaut pi fois les deux demi-axes. Pour le périmètre, il n’existe pas de formule exacte simple : il est calculé avec l’approximation de Ramanujan, qui donne une valeur un peu trop courte. Pour une ellipse presque ronde, l’erreur ne se voit pas dans les chiffres que nous montrons, mais elle grandit quand l’ellipse s’allonge et s’amincit. Avec des demi-axes de 10 et 1, l’outil affiche 40,639272, alors que le périmètre exact est 40,639742.
L’angle intérieur d’un polygone régulier vaut 180 degrés fois le nombre de côtés moins deux, divisé par le nombre de côtés. Un hexagone a donc 120 degrés.
Les formules des autres figures
La diagonale du carré vaut le côté fois √2, et celle du rectangle √(l² + h²). L’aire du parallélogramme vaut la base fois la hauteur, et son périmètre 2(base + côté oblique). La hauteur ne peut pas dépasser le côté oblique, puisqu’elle vaut le côté oblique fois le sinus de l’angle entre les côtés ; à longueurs égales, on obtient un rectangle. Le trapèze n’a qu’une aire, (a + b) / 2 × h, parce que les côtés obliques ne se déduisent pas des deux bases et de la hauteur.
Un polygone régulier se découpe en n triangles isocèles réunis au centre, d’où l’aire n × s² / (4 × tan(180° / n)). Un secteur circulaire est la fraction α / 360 du disque entier : l’aire vaut πr² × α / 360, la longueur de l’arc 2πr × α / 360, et le périmètre l’arc plus deux rayons. L’angle ne peut pas dépasser 360 degrés.
Exemple
Un secteur de rayon 5 et d’angle 72 degrés est un cinquième du disque. L’aire vaut 25π / 5 = 5π ≈ 15,707963, l’arc 2π ≈ 6,2831853 et le périmètre 6,2831853 + 10 ≈ 16,283185. Un hexagone de côté 2 a pour aire 6 × 4 / (4 × tan 30°) = 6√3 ≈ 10,392305.
Le périmètre de l’ellipse
Le périmètre exact vaut 4a × E(k), où a est le grand demi-axe, k² = 1 − b²/a² et E l’intégrale elliptique complète de deuxième espèce. L’outil emploie plutôt l’approximation de Ramanujan, π(a + b)(1 + 3λ² / (10 + √(4 − 3λ²))), où λ = (a − b) / (a + b). Le recueil de fonctions mathématiques du NIST recense treize approximations connues et désigne celle de Ramanujan comme la plus précise. Avec son premier terme d’erreur, que l’outil omet, elle reste à 0,023 % près, même pour l’ellipse très allongée de demi-axes 99 et 1. Sans ce terme, l’outil y affiche 396,01652 contre 396,11074 en valeur exacte, soit 0,024 % de moins.
Unités au carré
Selon la brochure sur le SI, un préfixe fait corps avec son unité et s’élève à la puissance avec elle : 1 cm² vaut (10⁻² m)², soit 10⁻⁴ m². Un rectangle de 4 mètres sur 3 a une aire de 12 m², et le même rectangle écrit en centimètres, 400 sur 300, une aire de 120 000 cm². Ne mélangez pas les unités dans une même figure.