Fläche und Umfang
Wählen Sie die Figur und geben Sie die Maße ein, dann werden Fläche und Umfang sofort berechnet.
Maße
Ergebnis
Füllen Sie alle Maße aus.
So funktioniert es
Fläche wird in Quadrateinheiten gemessen und Umfang in Längeneinheiten. Das Werkzeug rechnet ohne Einheit, die Antwort steht also in derselben Einheit wie Ihre Eingabe: Geben Sie Zentimeter ein, wird die Fläche in Quadratzentimetern angegeben.
Die Fläche des Kreises ist pi mal Radius zum Quadrat, und der Umfang ist zwei pi mal Radius. Der Durchmesser ist der doppelte Radius.
Die Fläche des Dreiecks ist die halbe Grundseite mal die Höhe, wobei die Höhe senkrecht zur Grundseite gemessen wird. Kennen Sie stattdessen drei Seiten oder Winkel, gehört das in den Dreiecksrechner.
Die Fläche der Ellipse ist pi mal die beiden Halbachsen. Für den Umfang gibt es keine einfache exakte Formel, er wird mit Ramanujans Näherung berechnet, die etwas zu kurz ausfällt. Bei fast runden Ellipsen ist der Fehler in den angezeigten Stellen nicht zu sehen, er wächst aber, je länger und schmaler die Ellipse wird: Mit den Halbachsen 10 und 1 zeigt das Werkzeug 40,639272, der exakte Umfang beträgt 40,639742.
Der Innenwinkel eines regelmäßigen Vielecks ist 180 Grad mal die Zahl der Seiten minus zwei, geteilt durch die Zahl der Seiten. Ein Sechseck hat also 120 Grad.
Die Formeln für die übrigen Figuren
Die Diagonale des Quadrats ist die Seite mal √2, die des Rechtecks √(b² + h²). Die Fläche des Parallelogramms ist Grundseite mal Höhe, der Umfang 2(Grundseite + Schenkel). Die Höhe kann nicht länger sein als der Schenkel, denn sie ist der Schenkel mal den Sinus des Winkels zwischen den Seiten; bei gleicher Länge entsteht ein Rechteck. Das Trapez bekommt nur eine Fläche, (a + b) / 2 · h, weil sich die schrägen Seiten aus den beiden Grundseiten und der Höhe nicht berechnen lassen.
Ein regelmäßiges Vieleck wird in n gleichschenklige Dreiecke mit der Spitze in der Mitte zerlegt, was die Fläche n · s² / (4 · tan(180° / n)) ergibt. Ein Kreissektor ist der Winkel durch 360 des ganzen Kreises: Die Fläche ist πr² · α / 360, die Bogenlänge 2πr · α / 360 und der Umfang der Bogen plus zwei Radien. Der Winkel darf höchstens 360 Grad betragen.
Beispiel
Ein Kreissektor mit dem Radius 5 und dem Winkel 72 Grad ist ein Fünftel des Kreises. Die Fläche ist 25π / 5 = 5π ≈ 15,707963, die Bogenlänge 2π ≈ 6,2831853 und der Umfang 6,2831853 + 10 ≈ 16,283185. Ein Sechseck mit der Seite 2 hat die Fläche 6 · 4 / (4 · tan 30°) = 6√3 ≈ 10,392305.
Der Umfang der Ellipse
Der genaue Umfang ist 4a · E(k), wobei a die längere Halbachse ist, k² = 1 − b²/a² und E das vollständige elliptische Integral zweiter Art. Das Werkzeug verwendet stattdessen Ramanujans Näherung π(a + b)(1 + 3λ² / (10 + √(4 − 3λ²))) mit λ = (a − b) / (a + b). Das Handbuch mathematischer Funktionen des NIST zählt dreizehn bekannte Näherungen auf und nennt die von Ramanujan die genaueste. Mit ihrem ersten Fehlerglied, das das Werkzeug weglässt, bleibt sie selbst für die extrem gestreckte Ellipse mit den Halbachsen 99 und 1 innerhalb von 0,023 %. Ohne dieses Glied zeigt das Werkzeug dort 396,01652 gegenüber genau 396,11074, also 0,024 % zu wenig.
Einheiten zum Quadrat
Nach der SI-Broschüre gehört ein Vorsatz zu seiner Einheit und wird mit ihr potenziert: 1 cm² ist (10⁻² m)², also 10⁻⁴ m². Ein Rechteck von 4 mal 3 Metern hat eine Fläche von 12 m², dasselbe Rechteck in Zentimetern, 400 mal 300, eine Fläche von 120 000 cm². Mischen Sie innerhalb einer Figur keine Einheiten.