Calcul du triangle
Saisissez trois des six mesures, dont au moins un côté, et le reste est calculé.
Le côté a est opposé à l’angle A, b à B et c à C. Saisissez exactement trois mesures, dont au moins un côté.
Côtés
Angles
Comment ça marche
Un triangle est déterminé par trois mesures, mais seulement si au moins l’une d’elles est un côté. Trois angles donnent la forme sans la taille, car tous les triangles semblables ont les mêmes angles.
Trois côtés connus se résolvent par la loi des cosinus, qui donne chaque angle à partir des trois côtés. L’outil vérifie d’abord l’inégalité triangulaire : le côté le plus long doit être plus court que la somme des deux autres.
Deux côtés avec l’angle entre eux se résolvent aussi par la loi des cosinus, qui donne directement le troisième côté.
Un côté et deux angles, c’est le cas le plus simple : le troisième angle découle du fait que la somme des angles vaut 180 degrés, et la loi des sinus donne les côtés restants.
Deux côtés et un angle qui n’est pas entre eux, c’est le cas ambigu. La loi des sinus donne à la fois une possibilité aiguë et une obtuse, et les deux peuvent être de vrais triangles. Ils sont alors montrés côte à côte, plutôt que de laisser l’outil choisir pour vous.
Les triangles rectangles ne sont pas un cas à part ici. Saisissez vos mesures et les quatre-vingt-dix degrés sortent d’eux-mêmes, comme avec 3, 4 et 5.
Comment l’outil calcule
La loi des sinus dit que a / sin A = b / sin B = c / sin C, et la loi des cosinus que c² = a² + b² − 2ab cos C. L’aire est toujours calculée comme ½ × a × b × sin C, l’une des formes données par le recueil de fonctions mathématiques du NIST, et le périmètre comme la somme des côtés. Le dernier angle s’obtient comme 180 degrés moins les deux autres.
Chaque mesure doit être supérieure à zéro. Un angle de 180 degrés ou plus est refusé, de même que deux angles dont la somme atteint 180. Les réponses s’affichent avec huit chiffres significatifs, les angles en degrés.
Exemple : le cas ambigu
Le bouton d’exemple remplit a = 7, b = 10 et A = 40°. La loi des sinus donne sin B = 10 × sin 40° / 7 ≈ 0,9183. Deux angles ont ce sinus : B ≈ 66,674177° et 180° moins cette valeur, 113,32582°. Tous deux tiennent avec 40°, si bien qu’il existe deux triangles.
Dans le premier, C ≈ 73,325823°, c ≈ 10,43216 et l’aire ≈ 33,528317. Dans le second, C ≈ 26,674177°, c ≈ 4,8887286 et l’aire ≈ 15,712071. Les deux ont les mêmes côtés a et b et le même angle A.
Un, deux ou aucun triangle
Avec deux côtés et un angle qui n’est pas entre eux, c’est la longueur du côté opposé à l’angle qui décide du nombre de triangles. Si A est aigu et que a est plus court que b × sin A, il n’y en a aucun : avec a = 6 dans l’exemple, b × sin A ≈ 6,43, et l’outil répond que les mesures ne forment pas un triangle. Si a vaut exactement b × sin A, il y en a un, et il est rectangle : a = 5, b = 10 et A = 30° donnent B = 90°.
Si a est compris entre b × sin A et b, il y a deux triangles, comme dans l’exemple ci-dessus. Si a est aussi long que b ou plus, il n’y en a qu’un, car la possibilité obtuse ne tient plus : avec a = 12, B ≈ 32,388434° et C ≈ 107,61157°. Si A est droit ou obtus, a doit être plus long que b, sinon il n’y a pas de triangle.