Driehoek berekenen
Vul drie van de zes maten in, waaronder minstens één zijde, dan wordt de rest berekend.
Zijde a ligt tegenover hoek A, b tegenover B en c tegenover C. Vul precies drie maten in, waaronder minstens één zijde.
Zijden
Hoeken
Zo werkt het
Een driehoek ligt met drie maten vast, maar alleen als er minstens één zijde bij is. Drie hoeken geven de vorm zonder de grootte, want alle gelijkvormige driehoeken hebben dezelfde hoeken.
Drie bekende zijden lost de cosinusregel op, die elke hoek uit de drie zijden geeft. De tool toetst eerst de driehoeksongelijkheid: de langste zijde moet korter zijn dan de twee andere samen.
Twee zijden met de hoek ertussen lost eveneens de cosinusregel op, die de derde zijde rechtstreeks geeft.
Eén zijde en twee hoeken is het eenvoudigst: de derde hoek volgt uit het feit dat de hoeken samen 180 graden zijn, en de sinusregel geeft de overige zijden.
Twee zijden en een hoek die er niet tussen ligt, is het dubbelzinnige geval. De sinusregel geeft zowel een scherpe als een stompe mogelijkheid, en beide kunnen echte driehoeken zijn. Dan worden ze naast elkaar getoond, in plaats van dat de tool voor jou kiest.
Rechthoekige driehoeken zijn hier geen apart geval. Vul je maten in, dan komen die negentig graden er vanzelf uit, zoals bij 3, 4 en 5.
Zo rekent de tool
De sinusregel zegt dat a / sin A = b / sin B = c / sin C, en de cosinusregel dat c² = a² + b² − 2ab cos C. De oppervlakte wordt altijd berekend als ½ × a × b × sin C, een van de vormen in het handboek van wiskundige functies van NIST, en de omtrek als de som van de zijden. De laatste hoek is 180 graden min de twee andere.
Elke maat moet groter zijn dan nul. Een hoek van 180 graden of meer wordt geweigerd, net als twee hoeken die samen 180 of meer zijn. De antwoorden krijgen acht significante cijfers, de hoeken in graden.
Voorbeeld: het dubbelzinnige geval
De voorbeeldknop vult a = 7, b = 10 en A = 40° in. De sinusregel geeft sin B = 10 × sin 40° / 7 ≈ 0,9183. Twee hoeken hebben die sinus: B ≈ 66,674177° en 180° min dat, 113,32582°. Beide passen naast 40°, dus er zijn twee driehoeken.
In de eerste is C ≈ 73,325823°, c ≈ 10,43216 en de oppervlakte ≈ 33,528317. In de tweede is C ≈ 26,674177°, c ≈ 4,8887286 en de oppervlakte ≈ 15,712071. Beide hebben dezelfde zijden a en b en dezelfde hoek A.
Eén, twee of geen driehoek
Met twee zijden en een hoek die er niet tussen ligt, bepaalt de lengte van de zijde tegenover de hoek hoeveel driehoeken er bestaan. Is A scherp en a korter dan b × sin A, dan is er geen: met a = 6 in het voorbeeld is b × sin A ≈ 6,43, en de tool meldt dat de maten geen driehoek vormen. Is a precies gelijk aan b × sin A, dan is er één, en die is rechthoekig: a = 5, b = 10 en A = 30° geven B = 90°.
Ligt a tussen b × sin A en b, dan zijn er twee driehoeken, zoals in het voorbeeld hierboven. Is a even lang als b of langer, dan is er maar één, omdat de stompe mogelijkheid dan niet meer past. Met a = 12 is B ≈ 32,388434° en C ≈ 107,61157°. Is A recht of stomp, dan moet a langer zijn dan b, anders is er geen driehoek.