Rozwiązywanie trójkątów
Wpisz trzy z sześciu wielkości, w tym co najmniej jeden bok, a pozostałe zostaną obliczone.
Bok a leży naprzeciw kąta A, b naprzeciw B, a c naprzeciw C. Wpisz dokładnie trzy wielkości, w tym co najmniej jeden bok.
Boki
Kąty
Jak to działa
Trójkąt jest wyznaczony przez trzy wielkości, ale tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z nich jest bokiem. Trzy kąty dają kształt bez rozmiaru, bo wszystkie trójkąty podobne mają te same kąty.
Trzy znane boki rozwiązuje się twierdzeniem cosinusów, które daje każdy kąt z trzech boków. Narzędzie najpierw sprawdza nierówność trójkąta: najdłuższy bok musi być krótszy niż suma dwóch pozostałych.
Dwa boki i kąt między nimi również rozwiązuje się twierdzeniem cosinusów, które od razu daje trzeci bok.
Jeden bok i dwa kąty to najprostszy przypadek: trzeci kąt wynika z sumy kątów równej 180 stopni, a twierdzenie sinusów daje pozostałe boki.
Dwa boki i kąt, który nie leży między nimi, to przypadek niejednoznaczny. Twierdzenie sinusów daje wtedy możliwość z kątem ostrym i z kątem rozwartym, a obie mogą być prawdziwymi trójkątami. Są wtedy pokazywane obok siebie, zamiast żeby narzędzie wybierało za Ciebie.
Trójkąty prostokątne nie są tu przypadkiem szczególnym. Wpisz swoje wielkości, a dziewięćdziesiąt stopni wyjdzie samo, tak jak 3, 4 i 5 dają kąt prosty.
Jak narzędzie liczy
Twierdzenie sinusów mówi, że a / sin A = b / sin B = c / sin C, a twierdzenie cosinusów, że c² = a² + b² − 2ab cos C. Pole jest zawsze liczone jako ½ · a · b · sin C, jedną z postaci podanych w zbiorze wzorów NIST, a obwód jako suma boków. Ostatni kąt to 180 stopni minus dwa pozostałe.
Każda wielkość musi być większa od zera. Kąt 180 stopni lub większy jest odrzucany, podobnie jak dwa kąty, których suma wynosi 180 lub więcej. Wyniki są pokazywane z ośmioma cyframi znaczącymi, a kąty w stopniach.
Przykład: przypadek niejednoznaczny
Przycisk przykładu wpisuje a = 7, b = 10 i A = 40°. Twierdzenie sinusów daje sin B = 10 · sin 40° / 7 ≈ 0,9183. Ten sinus mają dwa kąty: B ≈ 66,674177° i 180° minus ten kąt, czyli 113,32582°. Oba mieszczą się obok 40°, więc istnieją dwa trójkąty.
W pierwszym C ≈ 73,325823°, c ≈ 10,43216, a pole ≈ 33,528317. W drugim C ≈ 26,674177°, c ≈ 4,8887286, a pole ≈ 15,712071. Oba mają te same boki a i b oraz ten sam kąt A.
Jeden, dwa albo żaden trójkąt
Przy dwóch bokach i kącie, który nie leży między nimi, o liczbie trójkątów decyduje długość boku naprzeciw kąta. Jeśli A jest ostry, a a jest krótsze niż b · sin A, trójkąta nie ma: przy a = 6 w przykładzie b · sin A ≈ 6,43, a narzędzie odpowiada, że z tych wielkości nie da się zbudować trójkąta. Jeśli a równa się dokładnie b · sin A, trójkąt jest jeden, i to prostokątny: a = 5, b = 10 i A = 30° dają B = 90°.
Jeśli a leży między b · sin A a b, są dwa trójkąty, jak w przykładzie powyżej. Jeśli a jest co najmniej tak długie jak b, trójkąt jest tylko jeden, bo wariant z kątem rozwartym już się nie mieści: przy a = 12 B ≈ 32,388434°, a C ≈ 107,61157°. Jeśli A jest prosty lub rozwarty, a musi być dłuższe niż b, inaczej trójkąta nie ma.