Geometria analityczna
Wpisz dwa punkty na płaszczyźnie, a odległość, środek odcinka i równanie prostej zostaną obliczone.
Odległość
7,2111026
Obliczona z twierdzenia Pitagorasa na podstawie różnic x i y.
- Środek odcinka(4; 4)
- Współczynnik kierunkowyZmiana y podzielona przez zmianę x.0,66666667
- Punkt przecięcia z osią y1,3333333
- Równanie prostejy = 0,66666667x + 1,3333333
- Kąt nachylenia do osi xDodatni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, od −90 do 90 stopni.33,690068°
- Δx · Δy6 · 4
Wzory
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)S = ((x₁ + x₂) / 2; (y₁ + y₂) / 2)a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)b = y₁ − a · x₁α = arctg(a)
Jak to działa
Odległość między dwoma punktami wynika z twierdzenia Pitagorasa: różnica współrzędnych x i różnica współrzędnych y to przyprostokątne, a odległość to przeciwprostokątna.
Środek odcinka to średnia współrzędnych, czyli punkt w połowie drogi między punktami.
Współczynnik kierunkowy to zmiana y podzielona przez zmianę x. Współczynnik 2 oznacza, że prosta wznosi się o dwie jednostki na każdą jednostkę w prawo.
Równanie prostej zapisuje się jako y = ax + b, gdzie a to współczynnik kierunkowy, a b to miejsce, w którym prosta przecina oś y.
Prosta pionowa nie ma współczynnika kierunkowego, bo zmiana x wynosi zero, a dzielenie przez zero jest niewykonalne. Taką prostą zapisuje się zamiast tego jako x = liczba.
Kąt jest mierzony względem osi x i liczony dodatnio przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Współczynnik kierunkowy 1 odpowiada 45 stopniom.
Przykład
Narzędzie zaczyna od A = (1; 2) i B = (7; 6). Różnice to Δx = 6 i Δy = 4. Odległość wynosi √(6² + 4²) = √52 ≈ 7,2111026, a środek odcinka to (4; 4).
Współczynnik kierunkowy to 4 / 6 = 2/3, pokazany jako 0,66666667. Prosta przecina oś y w punkcie y = 2 − 2/3 · 1 = 4/3, pokazanym jako 1,3333333, a równanie ma postać y = 0,66666667x + 1,3333333. Kąt nachylenia do osi x to arctg(2/3) ≈ 33,690068 stopnia.
Zaokrąglone liczby w równaniu
Każda liczba jest pokazywana z najwyżej ośmioma cyframi znaczącymi, więc równanie powyżej to zaokrąglenie dokładnej prostej y = 2/3 · x + 4/3. Jeśli potrzebujesz dokładnych współczynników, policz je z Δx i Δy, pokazanych w ostatnim wierszu: współczynnik kierunkowy to Δy / Δx, a wyraz wolny y₁ − Δy / Δx · x₁. Po pomnożeniu przez 3 przykład daje 3y = 2x + 4.
Jeśli zamienisz punkty miejscami, Δx i Δy zmienią znak, ale wszystko inne zostanie bez zmian, również kąt, który jest równy arctg(a) i leży między −90 a 90 stopni; prosta pionowa dostaje 90 stopni.
Przypadki graniczne i rysunek
Pola przyjmują ułamki dziesiętne z przecinkiem lub kropką oraz ujemne współrzędne, więc można liczyć z punktami we wszystkich czterech ćwiartkach. Pojedynczy przecinek lub pojedyncza kropka zawsze oddziela część dziesiętną, więc 1,5 i 1.5 to ta sama liczba, a 1,500 to półtora, a nie tysiąc pięćset. Jeśli punkty się pokrywają, prostej nie ma i narzędzie to mówi, zamiast pokazać odległość zero. Prosta pozioma ma współczynnik kierunkowy 0 i jest zapisywana jako y = 0x + b. Prosta pionowa ma postać x = liczba, a współczynnik kierunkowy i punkt przecięcia z osią y są opisane jako pionowe. Środek odcinka jest zapisywany ze średnikiem między współrzędnymi, na przykład (2,5; 4), bo przecinek między liczbami można pomylić z przecinkiem dziesiętnym. Tak zaleca norma ISO 80000-2.
Rysunek pod wynikami ma tę samą skalę na obu osiach, więc prosta o współczynniku kierunkowym 1 rzeczywiście wygląda na nachyloną pod kątem 45 stopni. Skalę wyznacza większa z różnic x i y, a punkty są wyśrodkowane w ramce. Osie układu współrzędnych są rysowane tam, gdzie leżą, i oznaczone literami x i y. Oś, która wypada poza ramkę, nie jest rysowana, więc przy punktach z przykładu, gdzie początek układu leży tuż pod ramką i na lewo od niej, nie widać żadnej z nich.