Geometria analitica
Inserisci due punti del piano e vengono calcolati distanza, punto medio ed equazione della retta.
Distanza
7,2111026
Calcolata con il teorema di Pitagora dalle differenze in x e y.
- Punto medio(4; 4)
- Coefficiente angolareVariazione in y divisa per variazione in x.0,66666667
- Intersezione con l’asse y1,3333333
- Equazione della rettay = 0,66666667x + 1,3333333
- Angolo con l’asse xPositivo in senso antiorario, fra −90 e 90 gradi.33,690068°
- Δx · Δy6 · 4
Le formule
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)M = ((x₁ + x₂) / 2; (y₁ + y₂) / 2)m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)b = y₁ − m · x₁α = arctan(m)
Come funziona
La distanza fra due punti discende dal teorema di Pitagora: la differenza in x e quella in y sono i cateti, e la distanza è l’ipotenusa.
Il punto medio è la media delle coordinate, cioè il punto esattamente a metà fra i due sulla retta.
Il coefficiente angolare è la variazione in y divisa per la variazione in x. Un coefficiente di 2 significa che la retta sale di due passi per ogni passo verso destra.
L’equazione della retta si scrive come y = mx + b, dove m è il coefficiente angolare e b il valore in cui la retta taglia l’asse y.
Una retta verticale non ha coefficiente angolare, perché la variazione in x è zero e la divisione per zero non è definita. Allora la retta si scrive invece come x = un numero.
L’angolo si misura rispetto all’asse x e si conta positivo in senso antiorario. Un coefficiente angolare di 1 corrisponde a 45 gradi.
Esempio
Lo strumento parte da A = (1; 2) e B = (7; 6). Le differenze sono Δx = 6 e Δy = 4. La distanza è √(6² + 4²) = √52 ≈ 7,2111026 e il punto medio (4; 4).
Il coefficiente angolare è 4 / 6 = 2/3, mostrato come 0,66666667. La retta taglia l’asse y dove y = 2 − 2/3 × 1 = 4/3, mostrato come 1,3333333, e l’equazione si legge y = 0,66666667x + 1,3333333. L’angolo con l’asse x è arctan(2/3) ≈ 33,690068 gradi.
Numeri arrotondati nell’equazione
Ogni numero è mostrato con al massimo otto cifre significative, quindi l’equazione qui sopra è un arrotondamento della retta esatta y = 2/3 × x + 4/3. Se ti servono coefficienti esatti, ricavali da Δx e Δy, mostrati nell’ultima riga: il coefficiente angolare è Δy / Δx e l’intercetta y₁ − Δy / Δx × x₁. Moltiplicato per 3, l’esempio diventa 3y = 2x + 4.
Se scambi i punti, Δx e Δy cambiano segno, ma tutto il resto rimane uguale. Questo vale anche per l’angolo, che è arctan(m) e sta fra −90 e 90 gradi; una retta verticale riceve 90 gradi.
Casi limite e la figura
I campi accettano decimali e coordinate negative, quindi si possono usare punti in tutti e quattro i quadranti. Il separatore decimale è la virgola, come in 2,5, ma funziona anche il punto, tranne quando separa le migliaia, come in 1.500, che vale millecinquecento. Se i punti coincidono non c’è alcuna retta, e lo strumento lo dice invece di mostrare una distanza pari a zero. Una retta orizzontale ha coefficiente angolare 0 e si scrive y = 0x + c. Una retta verticale si scrive x = un numero, e coefficiente angolare e intercetta compaiono come verticale. Il punto medio si scrive con il punto e virgola fra le coordinate, come (2,5; 4), perché una virgola fra i numeri si confonderebbe con la virgola decimale. Così raccomanda la norma ISO 80000-2.
La figura sotto le risposte usa la stessa scala sui due assi, quindi una retta con coefficiente angolare 1 appare davvero inclinata di 45 gradi. La maggiore fra le differenze in x e in y stabilisce la scala, e i punti sono centrati nel riquadro. Gli assi cartesiani sono disegnati dove si trovano e indicati con x e y. Un asse che cade fuori dal riquadro non viene disegnato, quindi con i punti dell’esempio, dove l’origine sta appena sotto e a sinistra del riquadro, non se ne vede nessuno.