Koordinatgeometri
Skriv in två punkter i planet, så räknas avstånd, mittpunkt och linjens ekvation ut.
Avstånd
7,2111026
Räknat med Pythagoras sats ur skillnaderna i x och y.
- Mittpunkt(4; 4)
- LutningFörändring i y delad med förändring i x.0,66666667
- Skärning med y-axeln1,3333333
- Räta linjens ekvationy = 0,66666667x + 1,3333333
- Vinkel mot x-axelnPositiv moturs, mellan −90 och 90 grader.33,690068°
- Δx · Δy6 · 4
Formlerna
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)M = ((x₁ + x₂) / 2; (y₁ + y₂) / 2)k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)m = y₁ − k · x₁v = arctan(k)
Så fungerar det
Avståndet mellan två punkter följer av Pythagoras sats: skillnaden i x och skillnaden i y är kateterna, och avståndet är hypotenusan.
Mittpunkten är medelvärdet av koordinaterna, alltså punkten mitt emellan de två på linjen.
Lutningen är förändringen i y delad med förändringen i x. En lutning på 2 betyder att linjen stiger två steg uppåt för varje steg åt höger.
Räta linjens ekvation skrivs y = kx + m, där k är lutningen och m är värdet där linjen skär y-axeln.
En lodrät linje har ingen lutning, eftersom förändringen i x är noll och division med noll inte är definierad. Då skrivs linjen i stället som x = ett tal.
Vinkeln mäts mot x-axeln och räknas positiv moturs. En lutning på 1 motsvarar 45 grader.
Exempel
Verktyget börjar med A = (1; 2) och B = (7; 6). Skillnaderna är Δx = 6 och Δy = 4. Avståndet blir √(6² + 4²) = √52 ≈ 7,2111026 och mittpunkten (4; 4).
Lutningen är 4 / 6 = 2/3, som visas som 0,66666667. Linjen skär y-axeln där y = 2 − 2/3 · 1 = 4/3, som visas som 1,3333333, och ekvationen skrivs y = 0,66666667x + 1,3333333. Vinkeln mot x-axeln är arctan(2/3) ≈ 33,690068 grader.
Avrundade tal i ekvationen
Alla tal visas med högst åtta värdesiffror. Ekvationen ovan är därför en avrundning av den exakta linjen y = 2/3 · x + 4/3. Behöver du exakta koefficienter går de att få ur Δx och Δy, som visas i sista raden: lutningen är Δy / Δx och skärningen y₁ − Δy / Δx · x₁. Multiplicerat med 3 blir exemplet 3y = 2x + 4.
Byter du plats på punkterna byter Δx och Δy tecken, men allt annat blir detsamma. Det gäller också vinkeln, som är arctan(k) och ligger mellan −90 och 90 grader; en lodrät linje får 90 grader.
Gränsfall och figuren
Fälten tar decimaltal med komma eller punkt och negativa koordinater, så punkter i alla fyra kvadranterna går att räkna med. Sammanfaller punkterna finns ingen linje, och verktyget säger det i stället för att visa avståndet noll. En vågrät linje har lutningen 0 och skrivs y = 0x + m. En lodrät linje skrivs x = ett tal, och lutning och skärning visas som lodrät. Mittpunkten skrivs med semikolon mellan koordinaterna, som (2,5; 4), eftersom ett komma mellan talen kan förväxlas med decimalkommat. Så rekommenderar standarden ISO 80000-2.
Figuren under svaren använder samma skala på båda axlarna, så att en linje med lutningen 1 också ser ut att luta 45 grader. Den största av skillnaderna i x och y bestämmer skalan, och punkterna centreras i rutan. Koordinataxlarna ritas där de ligger och märks x och y. En axel som hamnar utanför rutan ritas inte, så med punkterna i exemplet, där origo ligger strax nedanför och till vänster om rutan, syns ingen av dem.