Geometria analítica
Digite dois pontos do plano e a distância, o ponto médio e a equação da reta são calculados.
Distância
7,2111026
Calculada com Pitágoras a partir das diferenças em x e y.
- Ponto médio(4; 4)
- Coeficiente angularVariação de y dividida pela variação de x.0,66666667
- Intercepto em y1,3333333
- Equação da retay = 0,66666667x + 1,3333333
- Ângulo com o eixo xPositivo no sentido anti-horário, entre −90 e 90 graus.33,690068°
- Δx · Δy6 · 4
As fórmulas
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)M = ((x₁ + x₂) / 2; (y₁ + y₂) / 2)a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)b = y₁ − a · x₁θ = arctan(a)
Como funciona
A distância entre dois pontos sai de Pitágoras: a diferença em x e a diferença em y são os catetos, e a distância é a hipotenusa.
O ponto médio é a média das coordenadas, o ponto no meio da reta entre eles.
O coeficiente angular é a variação de y dividida pela variação de x. Um coeficiente de 2 significa que a reta sobe dois passos para cada passo para a direita.
A equação da reta é escrita y = ax + b, em que a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear, o ponto em que a reta cruza o eixo y.
Uma reta vertical não tem coeficiente angular, porque a variação de x é zero e a divisão por zero não é definida. Essa reta é escrita como x = um número.
O ângulo é medido em relação ao eixo x e contado como positivo no sentido anti-horário. Um coeficiente de 1 corresponde a 45 graus.
Exemplo
A ferramenta começa com A = (1; 2) e B = (7; 6). As diferenças são Δx = 6 e Δy = 4. A distância é √(6² + 4²) = √52 ≈ 7,211 102 6, e o ponto médio é (4; 4).
O coeficiente angular é 4 / 6 = 2/3 ≈ 0,666 666 67. A reta corta o eixo y onde y = 2 − 2/3 × 1 = 4/3 ≈ 1,333 333 3, e a equação fica y = 0,666 666 67x + 1,333 333 3. O ângulo com o eixo x é arctg(2/3) ≈ 33,690 068 graus.
Números arredondados na equação
Todo número aparece com no máximo oito algarismos significativos, então a equação acima é um arredondamento da reta exata y = 2/3 × x + 4/3. Se você precisa dos coeficientes exatos, calcule-os a partir de Δx e Δy, que aparecem na última linha: o coeficiente angular é Δy / Δx, e o coeficiente linear é y₁ − Δy / Δx × x₁. Multiplicado por 3, o exemplo vira 3y = 2x + 4.
Se você trocar os pontos de lugar, Δx e Δy trocam de sinal, mas todo o resto continua igual. Isso inclui o ângulo, que é o arco tangente do coeficiente angular e fica entre −90 e 90 graus; uma reta vertical recebe 90 graus.
Casos-limite e o diagrama
Os campos aceitam decimais e coordenadas negativas, então dá para usar pontos nos quatro quadrantes. A vírgula é o separador decimal, mas um ponto também funciona, como em 2.5, exceto quando separa milhares: 1.500 é lido como 1500. Se os pontos coincidem, não há reta, e a ferramenta avisa em vez de mostrar distância zero. Uma reta horizontal tem coeficiente angular 0 e é escrita y = 0x + b. Uma reta vertical é escrita x = um número, e o coeficiente angular e o intercepto aparecem como vertical. O ponto médio é escrito com ponto e vírgula entre as coordenadas, como (2,5; 4), porque uma vírgula entre os números se confundiria com a vírgula decimal. É o que recomenda a norma ISO 80000-2.
O diagrama abaixo das respostas usa a mesma escala nos dois eixos, então uma reta com coeficiente angular 1 também parece inclinada a 45 graus. A maior das diferenças em x e em y define a escala, e os pontos ficam centralizados no quadro. Os eixos coordenados são desenhados onde estão e marcados com x e y. Um eixo que cai fora do quadro não é desenhado, então com os pontos do exemplo, em que a origem fica logo abaixo e à esquerda do quadro, nenhum deles aparece.