Koordinatgeometri
Skriv to punkter i planen, så beregnes afstand, midtpunkt og linjens ligning.
Afstand
7,2111026
Beregnet med Pythagoras’ sætning ud fra forskellene i x og y.
- Midtpunkt(4; 4)
- HældningÆndring i y delt med ændring i x.0,66666667
- Skæring med y-aksen1,3333333
- Linjens ligningy = 0,66666667x + 1,3333333
- Vinkel med x-aksenPositiv mod uret, mellem −90 og 90 grader.33,690068°
- Δx · Δy6 · 4
Formlerne
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)M = ((x₁ + x₂) / 2; (y₁ + y₂) / 2)a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)b = y₁ − a · x₁v = arctan(a)
Sådan virker det
Afstanden mellem to punkter følger af Pythagoras’ sætning: forskellen i x og forskellen i y er kateterne, og afstanden er hypotenusen.
Midtpunktet er gennemsnittet af koordinaterne, altså punktet midt mellem de to på linjen.
Hældningen er ændringen i y delt med ændringen i x. En hældning på 2 betyder, at linjen stiger to trin opad for hvert trin mod højre.
Linjens ligning skrives y = ax + b, hvor a er hældningen og b er den værdi, hvor linjen skærer y-aksen.
En lodret linje har ingen hældning, da ændringen i x er nul, og division med nul ikke er defineret. Så skrives linjen i stedet som x = et tal.
Vinklen måles med x-aksen og regnes positiv mod uret. En hældning på 1 svarer til 45 grader.
Eksempel
Værktøjet begynder med A = (1; 2) og B = (7; 6). Forskellene er Δx = 6 og Δy = 4. Afstanden bliver √(6² + 4²) = √52 ≈ 7,2111026 og midtpunktet (4; 4).
Hældningen er 4 / 6 = 2/3, som vises som 0,66666667. Linjen skærer y-aksen, hvor y = 2 − 2/3 · 1 = 4/3, som vises som 1,3333333, og ligningen skrives y = 0,66666667x + 1,3333333. Vinklen med x-aksen er arctan(2/3) ≈ 33,690068 grader.
Afrundede tal i ligningen
Alle tal vises med højst otte betydende cifre. Ligningen ovenfor er derfor en afrunding af den eksakte linje y = 2/3 · x + 4/3. Har du brug for eksakte koefficienter, kan de findes ud fra Δx og Δy, som vises på sidste linje: hældningen a er Δy / Δx og skæringen b er y₁ − Δy / Δx · x₁. Ganget med 3 bliver eksemplet 3y = 2x + 4.
Bytter du om på punkterne, skifter Δx og Δy fortegn, men alt andet bliver det samme. Det gælder også vinklen, som er arctan(a) og ligger mellem −90 og 90 grader; en lodret linje får 90 grader.
Grænsetilfælde og figuren
Felterne tager decimaltal med komma eller punktum og negative koordinater, så punkter i alle fire kvadranter kan bruges. Falder punkterne sammen, findes der ingen linje, og værktøjet siger det i stedet for at vise afstanden nul. En vandret linje har hældningen 0 og skrives y = 0x + b. En lodret linje skrives x = et tal, og hældning og skæring vises som lodret. Midtpunktet skrives med semikolon mellem koordinaterne, så (2,5; 4) betyder x = 2,5 og y = 4. Et komma mellem tallene kunne forveksles med decimalkommaet, og standarden ISO 80000-2 anbefaler derfor semikolon.
Figuren under svarene bruger samme skala på begge akser, så en linje med hældningen 1 også ser ud til at hælde 45 grader. Den største af forskellene i x og y bestemmer skalaen, og punkterne centreres i feltet. Koordinatakserne tegnes, hvor de ligger, og mærkes x og y. En akse, der havner uden for feltet, tegnes ikke, så med punkterne i eksemplet, hvor origo ligger lige under og til venstre for feltet, ses ingen af dem.