Calcolo del triangolo
Inserisci tre delle sei misure, fra cui almeno un lato, e il resto viene calcolato.
Il lato a è opposto all’angolo A, b a B e c a C. Inserisci esattamente tre misure, fra cui almeno un lato.
Lati
Angoli
Come funziona
Un triangolo è determinato da tre misure, ma solo se almeno una di esse è un lato. Tre angoli danno la forma senza la dimensione, perché tutti i triangoli simili hanno gli stessi angoli.
Tre lati noti si risolvono con il teorema del coseno, che dà ogni angolo a partire dai tre lati. Lo strumento verifica prima la disuguaglianza triangolare: il lato più lungo deve essere più corto della somma degli altri due.
Due lati con l’angolo compreso si risolvono anch’essi con il teorema del coseno, che dà direttamente il terzo lato.
Un lato e due angoli è il caso più semplice: il terzo angolo discende dal fatto che la somma degli angoli è 180 gradi, e il teorema dei seni dà i lati restanti.
Due lati e un angolo non compreso è il caso ambiguo. Il teorema dei seni dà sia una possibilità acuta sia una ottusa, ed entrambe possono essere triangoli veri. Allora vengono mostrate una accanto all’altra, invece che lasciare scegliere allo strumento.
I triangoli rettangoli qui non sono un caso a parte. Inserisci le tue misure e i novanta gradi vengono fuori da soli, come con 3, 4 e 5.
Come calcola lo strumento
Il teorema dei seni dice che a / sin A = b / sin B = c / sin C, e il teorema del coseno che c² = a² + b² − 2ab cos C. L’area si calcola sempre come ½ × a × b × sin C, una delle forme del manuale di funzioni matematiche del NIST, e il perimetro come somma dei lati. L’ultimo angolo si trova come 180 gradi meno gli altri due.
Ogni misura deve essere maggiore di zero. Un angolo di 180 gradi o più viene rifiutato, come due angoli che sommati fanno 180 o più. Le risposte sono mostrate con otto cifre significative, con gli angoli in gradi.
Esempio: il caso ambiguo
Il pulsante di esempio inserisce a = 7, b = 10 e A = 40°. Il teorema dei seni dà sin B = 10 × sin 40° / 7 ≈ 0,9183. Due angoli hanno questo seno: B ≈ 66,674177° e 180° meno quel valore, 113,32582°. Entrambi stanno accanto a 40°, quindi i triangoli sono due.
Nel primo C ≈ 73,325823°, c ≈ 10,43216 e l’area ≈ 33,528317. Nel secondo C ≈ 26,674177°, c ≈ 4,8887286 e l’area ≈ 15,712071. Entrambi hanno gli stessi lati a e b e lo stesso angolo A.
Uno, due o nessun triangolo
Con due lati e un angolo non compreso fra loro, la lunghezza del lato opposto all’angolo decide quanti triangoli esistono. Se A è acuto e a è più corto di b × sin A non ce n’è nessuno: con a = 6 nell’esempio, b × sin A ≈ 6,43, e lo strumento dice che le misure non formano un triangolo. Se a è esattamente uguale a b × sin A ce n’è uno, ed è rettangolo: a = 5, b = 10 e A = 30° danno B = 90°.
Se a sta fra b × sin A e b, i triangoli sono due, come nell’esempio sopra. Se a è lungo quanto b o di più, ce n’è uno solo, perché la soluzione ottusa non ci sta più. Con a = 12, B ≈ 32,388434° e C ≈ 107,61157°. Se A è retto o ottuso, a deve essere più lungo di b, altrimenti non c’è alcun triangolo.