Regn med brøk

Sådan virker det

Addition og subtraktion kræver samme nævner. Fællesnævneren findes ved, at den ene nævner først forkortes mod den anden i stedet for, at de blot ganges sammen. At lægge 1/6 og 1/10 sammen den lige vej giver 16/60, mens denne vej giver 8/30. Begge forkortes derefter til 4/15, men det andet mellemled er halvt så stort.

Multiplikation er enklest: tæller gange tæller, nævner gange nævner. Division er det samme med den anden brøk vendt på hovedet, da det at dividere med en brøk er det samme som at gange med den omvendte.

Før multiplikationen forkortes tælleren i den ene brøk mod nævneren i den anden. Det holder tallene små, hvilket både giver pænere mellemled og udskyder det punkt, hvor de bliver for store til at regnes eksakt.

Svaret forkortes altid med største fælles divisor, og et minustegn i nævneren flyttes op til tælleren, så formen bliver entydig.

En brøk får en afsluttende decimaludvikling præcis, når den forkortede nævner kun indeholder faktorerne to og fem. 3/8 slutter efter tre decimaler, mens 1/3 fortsætter i det uendelige. Linjen under svaret siger, hvilket det er.

Bliver et led for stort til at regnes eksakt, gives der slet intet svar. En brøk med et forkert ciffer i nævneren ligner et svar, men er det ikke.

Eksempel trin for trin

5/6 + 7/10: den største fælles divisor for 6 og 10 er 2, så fællesnævneren bliver 6 · 10 / 2 = 30. Brøkerne bliver 25/30 og 21/30, summen 46/30, og værktøjet skriver »Forkortet med 2.« Svaret er 23/15, som blandet tal 1 8/15, og decimaltallet 1,533333 markeres som afrundet, fordi 15 indeholder faktoren 3.

4/9 × 15/8: før multiplikationen forkortes 4 mod 8 med 4 og 15 mod 9 med 3, så beregningen bliver (1 · 5) / (3 · 2) = 5/6. Udregningen viser det uforkortede produkt 60/72, og at det blev forkortet med 12.

Største fælles divisor

Divisoren findes med Euklids algoritme. I Elementerne, bog VII, sætning 2, trækkes det mindste tal gentagne gange fra det største, indtil det, der bliver tilbage, går op i tallet før. Værktøjet gør det samme med division: del det største tal med det mindste, behold resten, og gentag, indtil resten er nul. For 46 og 30 bliver det 46 = 1 · 30 + 16, 30 = 1 · 16 + 14, 16 = 1 · 14 + 2 og 14 = 7 · 2. Den sidste rest, der ikke er nul, 2, er divisoren.

Indtastning og grænser

Felterne tager heltal, brøker som 3/4 og blandede tal som 1 3/8, med minustegnet foran heltallet: −1 3/8 er −11/8. Et minustegn i nævneren godtages også. Decimaltal som 0,5 godtages ikke; skriv 1/2.

Hver tæller og nævner skal kunne rummes i browserens præcise heltal, altså være højst 9.007.199.254.740.991, eller 2⁵³ − 1. 1/99999989 + 1/99999971 giver intet svar, fordi fællesnævneren bliver næsten 10¹⁶. Decimaltallet under svaret vises med højst seks decimaler og procenten med højst fire. Decimaltallet markeres kun som eksakt, når hele udviklingen kan rummes i de seks decimaler, så 1/128 = 0,0078125 vises som 0,007813 og markeres som afrundet.

Kilder

• Euklid – Elementerne, bog VII, sætning 2 (udg. David E. Joyce, Clark University)
• Ecma International – ECMA-262, ECMAScript Language Specification

Sådan kontrolleres værktøjerne