Breuken berekenen
Vul twee breuken in en kies de bewerking, dan verschijnt het resultaat vereenvoudigd, met de tussenstappen eronder.
Schrijf als 3/4, gemengd als 1 3/8, of als geheel getal.
Bewerking
Resultaat
34 + 16 = 1112
- Als decimaal getal0,916667afgerond
- In procenten91,6667%
De tussenstappen
- Gemeenschappelijke noemer 12: 9/12 en 2/12
- Het resultaat was niet te vereenvoudigen.
3/4 is groter dan 1/6.
Zo werkt het
Optellen en aftrekken vragen dezelfde noemer. De gemeenschappelijke noemer ontstaat door de ene noemer eerst tegen de andere weg te delen in plaats van ze simpelweg te vermenigvuldigen. 1/6 en 1/10 rechttoe rechtaan opgeteld geeft 16/60, langs deze weg juist 8/30. Beide vereenvoudigen daarna tot 4/15, maar de tweede weg werkt met half zo grote getallen.
Vermenigvuldigen is het eenvoudigst: teller maal teller, noemer maal noemer. Delen is hetzelfde met de tweede breuk op zijn kop, want door een breuk delen betekent met het omgekeerde vermenigvuldigen.
Voor het vermenigvuldigen wordt de teller van de ene breuk tegen de noemer van de andere weggedeeld. Dat houdt de getallen klein, waardoor de tussenstappen overzichtelijker blijven en het punt verder weg schuift waarop ze te groot worden voor een exact antwoord.
Het resultaat wordt altijd met de grootste gemene deler vereenvoudigd, en een minteken in de noemer verhuist naar de teller, zodat de vorm eenduidig is.
Een breuk heeft precies dan een eindige decimale vorm als zijn vereenvoudigde noemer alleen de factoren twee en vijf bevat. 3/8 stopt na drie decimalen, 1/3 loopt eindeloos door. De regel onder het resultaat zegt welk van beide geldt.
Wordt een stap te groot voor een exact antwoord, dan komt er helemaal geen antwoord. Een breuk met één verkeerd cijfer in de noemer ziet eruit als een antwoord, maar is er geen.
Uitgewerkt voorbeeld
5/6 + 7/10: de grootste gemene deler van 6 en 10 is 2, dus de gemeenschappelijke noemer is 6 × 10 / 2 = 30. De breuken worden 25/30 en 21/30, de som is 46/30, en de tool meldt “Vereenvoudigd met 2.” Het antwoord is 23/15, als gemengd getal 1 8/15, en het decimale getal 1,533333 wordt als afgerond gemarkeerd, omdat 15 de factor 3 bevat.
4/9 × 15/8: voor het vermenigvuldigen wordt 4 tegen 8 weggedeeld met 4 en 15 tegen 9 met 3, zodat de berekening (1 × 5) / (3 × 2) = 5/6 wordt. De tussenstappen tonen het niet weggedeelde product 60/72 en dat het met 12 is vereenvoudigd.
De grootste gemene deler
De deler wordt gevonden met het algoritme van Euclides. In de Elementen, boek VII, propositie 2, wordt het kleinere getal steeds opnieuw van het grotere afgetrokken tot wat overblijft het getal ervoor meet. De tool doet hetzelfde met delen: deel het grotere getal door het kleinere, houd de rest en herhaal tot de rest nul is. Voor 46 en 30 geeft dat 46 = 1 × 30 + 16, 30 = 1 × 16 + 14, 16 = 1 × 14 + 2 en 14 = 7 × 2. De laatste rest die niet nul is, 2, is de deler.
Invoer en grenzen
De velden nemen gehele getallen, breuken zoals 3/4 en gemengde getallen zoals 1 3/8, met het minteken voor het gehele getal: −1 3/8 is −11/8. Een minteken in de noemer wordt ook geaccepteerd. Decimale getallen zoals 0,5 niet; schrijf 1/2.
Elke teller en noemer moet passen in de exacte gehele getallen van de browser, dus hoogstens 9.007.199.254.740.991 zijn, 2⁵³ − 1. 1/99999989 + 1/99999971 geeft geen antwoord, omdat de gemeenschappelijke noemer bijna 10¹⁶ wordt. Het decimale getal onder het antwoord krijgt hoogstens zes decimalen en het percentage hoogstens vier. Het decimale getal geldt alleen als exact als de hele ontwikkeling in die zes decimalen past, dus 1/128 = 0,0078125 wordt getoond als 0,007813 en als afgerond gemarkeerd.