Calcolo con le frazioni
Inserisci due frazioni e scegli l’operazione: il risultato compare ridotto, con i passaggi sotto.
Scrivi come 3/4, mista come 1 3/8, oppure come numero intero.
Operazione
Risultato
34 + 16 = 1112
- Come numero decimale0,916667arrotondato
- In percentuale91,6667%
I passaggi
- Denominatore comune 12: 9/12 e 2/12
- Il risultato non era semplificabile.
3/4 è maggiore di 1/6.
Come funziona
Sommare e sottrarre richiede lo stesso denominatore. Il denominatore comune si ottiene semplificando prima un denominatore contro l’altro invece di moltiplicarli e basta. 1/6 più 1/10 per la via diretta dà 16/60, per questa via invece 8/30. Entrambi si riducono poi a 4/15, ma la seconda strada lavora con numeri grandi la metà.
Moltiplicare è la cosa più semplice: numeratore per numeratore, denominatore per denominatore. Dividere è lo stesso con la seconda frazione capovolta, perché dividere per una frazione significa moltiplicare per il suo reciproco.
Prima di moltiplicare, il numeratore di una frazione viene semplificato contro il denominatore dell’altra. Questo tiene piccoli i numeri, il che rende i passaggi più leggibili e allontana il punto in cui diventano troppo grandi per un risultato esatto.
Il risultato viene sempre ridotto con il massimo comune divisore, e un segno meno al denominatore passa al numeratore, così la forma è univoca.
Una frazione ha una scrittura decimale finita esattamente quando il suo denominatore ridotto contiene solo i fattori due e cinque. 3/8 finisce dopo tre cifre, 1/3 va avanti all’infinito. La riga sotto il risultato dice quale dei due casi vale.
Se un passaggio diventa troppo grande per un risultato esatto, non viene dato alcun risultato. Una frazione con una cifra sbagliata al denominatore sembra una risposta, ma non lo è.
Esempio passo per passo
5/6 + 7/10: il massimo comune divisore di 6 e 10 è 2, quindi il denominatore comune è 6 × 10 / 2 = 30. Le frazioni diventano 25/30 e 21/30, la somma è 46/30, e lo strumento segnala «Semplificato per 2.». La risposta è 23/15, come numero misto 1 8/15, e il decimale 1,533333 è segnato come arrotondato, perché 15 contiene il fattore 3.
4/9 × 15/8: prima di moltiplicare, 4 si semplifica con 8 dividendo per 4, e 15 con 9 dividendo per 3, quindi il calcolo diventa (1 × 5) / (3 × 2) = 5/6. I passaggi mostrano il prodotto non semplificato 60/72 e che è stato semplificato per 12.
Il massimo comune divisore
Il divisore si trova con l’algoritmo di Euclide. Negli Elementi, libro VII, proposizione 2, il numero minore viene sottratto dal maggiore più volte, finché il resto misura il numero precedente. Lo strumento fa lo stesso con la divisione: divide il numero maggiore per il minore, tiene il resto e ripete finché il resto è zero. Per 46 e 30 si ha 46 = 1 × 30 + 16, 30 = 1 × 16 + 14, 16 = 1 × 14 + 2 e 14 = 7 × 2. L’ultimo resto diverso da zero, 2, è il divisore.
Inserimento e limiti
I campi accettano numeri interi, frazioni come 3/4 e numeri misti come 1 3/8, con il segno meno davanti al numero intero: −1 3/8 è −11/8. È accettato anche un segno meno al denominatore. I numeri decimali come 0,5 non sono accettati: scrivi 1/2.
Ogni numeratore e denominatore deve stare negli interi esatti del browser, cioè non superare 9.007.199.254.740.991, ovvero 2⁵³ − 1. 1/99999989 + 1/99999971 non dà risposta, perché il denominatore comune arriva quasi a 10¹⁶. Il decimale sotto la risposta è mostrato con al massimo sei cifre decimali e la percentuale con al massimo quattro. Il decimale è segnato come esatto solo quando tutto lo sviluppo sta in quelle sei cifre, quindi 1/128 = 0,0078125 compare come 0,007813 ed è segnato come arrotondato.