Calcul de fractions
Saisissez deux fractions et choisissez l’opération : le résultat apparaît réduit, avec les étapes en dessous.
Écrivez 3/4, en nombre mixte 1 3/8, ou un nombre entier.
Opération
Résultat
34 + 16 = 1112
- En nombre décimal0,916667arrondi
- En pourcentage91,6667 %
Les étapes
- Dénominateur commun 12 : 9/12 et 2/12
- Le résultat n’était pas simplifiable.
3/4 est plus grand que 1/6.
Comment ça marche
Additionner et soustraire demandent le même dénominateur. Le dénominateur commun s’obtient en simplifiant d’abord un dénominateur contre l’autre au lieu de les multiplier tout court. 1/6 plus 1/10 par la voie directe donne 16/60, par cette voie 8/30. Les deux se réduisent ensuite à 4/15, mais le second chemin travaille avec des nombres deux fois plus petits.
Multiplier est le plus simple : numérateur par numérateur, dénominateur par dénominateur. Diviser revient au même avec la seconde fraction retournée, car diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse.
Avant la multiplication, le numérateur d’une fraction est simplifié contre le dénominateur de l’autre. Cela garde les nombres petits, ce qui rend les étapes plus lisibles et repousse le moment où ils deviennent trop grands pour un résultat exact.
Le résultat est toujours réduit par le plus grand commun diviseur, et un signe moins au dénominateur passe au numérateur, pour que la forme soit sans ambiguïté.
Une fraction a une écriture décimale finie exactement quand son dénominateur réduit ne contient que les facteurs deux et cinq. 3/8 s’arrête après trois décimales, 1/3 continue sans fin. La ligne sous le résultat dit lequel des deux cas s’applique.
Si une étape devient trop grande pour un résultat exact, aucun résultat n’est donné. Une fraction avec un chiffre faux au dénominateur ressemble à une réponse, mais n’en est pas une.
Exemple pas à pas
5/6 + 7/10 : le plus grand commun diviseur de 6 et 10 est 2, si bien que le dénominateur commun vaut 6 × 10 / 2 = 30. Les fractions deviennent 25/30 et 21/30, la somme 46/30, et l’outil indique qu’il a simplifié par 2. La réponse est 23/15, en nombre mixte 1 8/15, et le décimal 1,533333 est marqué arrondi, puisque 15 contient le facteur 3.
4/9 × 15/8 : avant la multiplication, 4 est simplifié avec 8 par 4, et 15 avec 9 par 3, si bien que le calcul devient (1 × 5) / (3 × 2) = 5/6. Les étapes montrent le produit non simplifié, 60/72, et qu’il a été simplifié par 12.
Le plus grand commun diviseur
Le diviseur est trouvé par l’algorithme d’Euclide. Dans les Éléments, livre VII, proposition 2, on retranche le plus petit nombre du plus grand, encore et encore, jusqu’à ce que le reste mesure le nombre qui le précède. L’outil fait de même avec des divisions : divisez le plus grand nombre par le plus petit, gardez le reste et recommencez jusqu’à obtenir un reste nul. Pour 46 et 30, cela donne 46 = 1 × 30 + 16, 30 = 1 × 16 + 14, 16 = 1 × 14 + 2 et 14 = 7 × 2. Le dernier reste non nul, 2, est le diviseur.
Saisie et limites
Les champs acceptent les entiers, les fractions comme 3/4 et les nombres mixtes comme 1 3/8, avec le signe moins devant l’entier : −1 3/8 vaut −11/8. Un signe moins au dénominateur est accepté aussi. Les décimaux comme 0,5 ne le sont pas ; écrivez 1/2.
Chaque numérateur et chaque dénominateur doit tenir dans les entiers exacts du navigateur, c’est-à-dire ne pas dépasser 9 007 199 254 740 991, soit 2⁵³ − 1. 1/99999989 + 1/99999971 ne donne pas de réponse, parce que le dénominateur commun approche 10¹⁶. Le décimal sous la réponse s’affiche avec six décimales au plus, et le pourcentage avec quatre au plus. Le décimal n’est marqué exact que si tout son développement tient dans ces six décimales : 1/128 = 0,0078125 s’affiche 0,007813 et est marqué arrondi.