Bruchrechner
Geben Sie zwei Brüche ein und wählen Sie die Rechenart, dann erscheint das Ergebnis gekürzt, mit dem Rechenweg darunter.
Als 3/4 schreiben, gemischt als 1 3/8, oder als ganze Zahl.
Rechenart
Ergebnis
34 + 16 = 1112
- Als Dezimalzahl0,916667gerundet
- In Prozent91,6667 %
Der Rechenweg
- Hauptnenner 12: 9/12 und 2/12
- Das Ergebnis ließ sich nicht kürzen.
3/4 ist größer als 1/6.
So funktioniert es
Addieren und Subtrahieren verlangen denselben Nenner. Der Hauptnenner entsteht, indem ein Nenner zuerst gegen den anderen gekürzt wird, statt beide einfach zu multiplizieren. 1/6 und 1/10 auf dem geraden Weg addiert ergibt 16/60, auf diesem Weg dagegen 8/30. Beides kürzt sich dann zu 4/15, aber der zweite Rechenweg ist halb so groß.
Multiplizieren ist am einfachsten: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Dividieren ist dasselbe mit dem zweiten Bruch auf dem Kopf, denn durch einen Bruch zu teilen heißt, mit seinem Kehrwert zu multiplizieren.
Vor der Multiplikation wird der Zähler des einen Bruchs gegen den Nenner des anderen gekürzt. Das hält die Zahlen klein, was den Rechenweg übersichtlicher macht und den Punkt hinausschiebt, an dem sie zu groß für ein genaues Ergebnis werden.
Das Ergebnis wird immer mit dem größten gemeinsamen Teiler gekürzt, und ein Minuszeichen im Nenner wandert in den Zähler, damit die Form eindeutig ist.
Ein Bruch hat genau dann eine abbrechende Dezimaldarstellung, wenn sein gekürzter Nenner nur die Faktoren zwei und fünf enthält. 3/8 endet nach drei Stellen, 1/3 läuft endlos weiter. Die Zeile unter dem Ergebnis sagt, welches von beiden gilt.
Wird ein Schritt zu groß für ein genaues Ergebnis, wird gar kein Ergebnis ausgegeben. Ein Bruch mit einer falschen Ziffer im Nenner sieht aus wie eine Antwort, ist aber keine.
Rechenbeispiele
5/6 + 7/10: Der größte gemeinsame Teiler von 6 und 10 ist 2, der Hauptnenner also 6 · 10 / 2 = 30. Die Brüche werden zu 25/30 und 21/30, die Summe ist 46/30, und das Werkzeug meldet „Mit 2 gekürzt.“ Die Antwort ist 23/15, als gemischte Zahl 1 8/15, und die Dezimalzahl 1,533333 wird als gerundet gekennzeichnet, weil 15 den Faktor 3 enthält.
4/9 · 15/8: Vor dem Multiplizieren wird 4 gegen 8 mit 4 gekürzt und 15 gegen 9 mit 3, die Rechnung wird also zu (1 · 5) / (3 · 2) = 5/6. Der Rechenweg zeigt das ungekürzte Produkt 60/72 und dass mit 12 gekürzt wurde.
Der größte gemeinsame Teiler
Der Teiler wird mit dem euklidischen Algorithmus bestimmt. In den Elementen, Buch VII, Satz 2, wird die kleinere Zahl immer wieder von der größeren abgezogen, bis der Rest die Zahl davor misst. Das Werkzeug macht dasselbe mit Division: Die größere Zahl wird durch die kleinere geteilt, der Rest behalten und das Ganze wiederholt, bis der Rest null ist. Für 46 und 30 ergibt das 46 = 1 · 30 + 16, 30 = 1 · 16 + 14, 16 = 1 · 14 + 2 und 14 = 7 · 2. Der letzte Rest, der nicht null ist, 2, ist der Teiler.
Eingabe und Grenzen
Die Felder nehmen ganze Zahlen, Brüche wie 3/4 und gemischte Zahlen wie 1 3/8, mit dem Minuszeichen vor der ganzen Zahl: −1 3/8 ist −11/8. Ein Minuszeichen im Nenner wird ebenfalls angenommen. Dezimalzahlen wie 0,5 dagegen nicht; schreiben Sie 1/2.
Jeder Zähler und Nenner muss in die exakten ganzen Zahlen des Browsers passen, also höchstens 9 007 199 254 740 991 betragen, das ist 2⁵³ − 1. 1/99999989 + 1/99999971 gibt keine Antwort, weil der Hauptnenner fast 10¹⁶ erreicht. Die Dezimalzahl unter der Antwort erscheint mit höchstens sechs Nachkommastellen und der Prozentwert mit höchstens vier. Als genau gilt die Dezimalzahl nur, wenn die ganze Entwicklung in diese sechs Stellen passt, 1/128 = 0,0078125 erscheint daher als 0,007813 und gilt als gerundet.