Kalkulator ułamków
Wpisz dwa ułamki i wybierz działanie, a wynik pojawi się w postaci skróconej, z obliczeniami poniżej.
Wpisz jako 3/4, liczbę mieszaną jako 1 3/8 albo liczbę całkowitą.
Działanie
Wynik
34 + 16 = 1112
- Ułamek dziesiętny0,916667w zaokrągleniu
- W procentach91,6667%
Obliczenia
- Wspólny mianownik 12: 9/12 i 2/12
- Wyniku nie dało się skrócić.
3/4 jest większe niż 1/6.
Jak to działa
Dodawanie i odejmowanie wymagają wspólnego mianownika. Wspólny mianownik jest wyznaczany przez wcześniejsze skrócenie jednego mianownika z drugim, a nie przez zwykłe ich pomnożenie. Dodanie 1/6 i 1/10 wprost daje 16/60, a w ten sposób 8/30. Oba wyniki skracają się potem do 4/15, ale drugie obliczenie jest o połowę mniejsze.
Mnożenie jest najprostsze: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik. Dzielenie wygląda tak samo, tylko drugi ułamek jest odwracany, bo dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.
Przed mnożeniem licznik jednego ułamka jest skracany z mianownikiem drugiego. Dzięki temu liczby pozostają małe, co daje czytelniejsze obliczenia i odsuwa moment, w którym stają się zbyt duże, by zachować dokładność.
Wynik jest zawsze skracany przez największy wspólny dzielnik, a minus z mianownika jest przenoszony do licznika, żeby zapis był jednoznaczny.
Ułamek ma skończone rozwinięcie dziesiętne dokładnie wtedy, gdy jego skrócony mianownik zawiera tylko czynniki dwa i pięć. 3/8 kończy się po trzech miejscach po przecinku, a 1/3 ciągnie się w nieskończoność. Wiersz pod wynikiem mówi, który to przypadek.
Jeśli któryś krok daje liczby zbyt duże, by zachować dokładność, wynik w ogóle nie jest podawany. Ułamek z błędną cyfrą w mianowniku wygląda jak odpowiedź, ale nią nie jest.
Przykład krok po kroku
5/6 + 7/10: największy wspólny dzielnik 6 i 10 to 2, więc wspólny mianownik to 6 · 10 / 2 = 30. Ułamki stają się 25/30 i 21/30, suma to 46/30, a narzędzie pisze, że skrócono ją przez 2. Wynik to 23/15, jako liczba mieszana 1 8/15, a ułamek dziesiętny 1,533333 jest oznaczony jako zaokrąglony, bo 15 zawiera czynnik 3.
4/9 × 15/8: przed mnożeniem 4 skraca się z 8 przez 4, a 15 z 9 przez 3, więc obliczenie to (1 · 5) / (3 · 2) = 5/6. Obliczenia pokazują nieskrócony iloczyn 60/72 i to, że skrócono go przez 12.
Największy wspólny dzielnik
Dzielnik jest wyznaczany algorytmem Euklidesa. W Elementach, w księdze VII, twierdzenie 2, mniejsza liczba jest raz po raz odejmowana od większej, aż to, co zostaje, mierzy liczbę poprzednią. Narzędzie robi to samo dzieleniem: dzieli większą liczbę przez mniejszą, zachowuje resztę i powtarza, aż reszta wyniesie zero. Dla 46 i 30 daje to 46 = 1 · 30 + 16, 30 = 1 · 16 + 14, 16 = 1 · 14 + 2 i 14 = 7 · 2. Ostatnia niezerowa reszta, 2, jest szukanym dzielnikiem.
Wpisywanie i granice
Pola przyjmują liczby całkowite, ułamki takie jak 3/4 i liczby mieszane takie jak 1 3/8, z minusem przed częścią całkowitą: −1 3/8 to −11/8. Minus w mianowniku też jest akceptowany. Ułamki dziesiętne, takie jak 0,5, nie są; wpisz 1/2.
Każdy licznik i mianownik musi mieścić się w dokładnych liczbach całkowitych przeglądarki, czyli wynosić najwyżej 9 007 199 254 740 991, inaczej 2⁵³ − 1. 1/99999989 + 1/99999971 nie daje wyniku, bo wspólny mianownik wynosi prawie 10¹⁶. Ułamek dziesiętny pod wynikiem ma najwyżej sześć miejsc po przecinku, a procent najwyżej cztery. Ułamek dziesiętny jest oznaczony jako dokładny tylko wtedy, gdy całe rozwinięcie mieści się w tych sześciu miejscach, więc 1/128 = 0,0078125 jest pokazane jako 0,007813 i oznaczone jako zaokrąglone.